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Álgebra Linear

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

Paulo Winterle, Alfredo Steinbruch IBSN: 9780074504123

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você estudou no capítulo 2, seção 2.2 deste livro, espaço vetorial é um conjunto de elementos (que chamaremos de vetores), em que podemos fazer a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar (que é um número real ou complexo).

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Então, vamos verificar as oito propriedades (ou axiomas) de um espaço vetorial. Começamos escolhendo os três vetores abaixo:

Agora, vamos substituir esses vetores em cada uma das definições de espaço vetorial, começando com a primeira delas:

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A 1 ) Propriedade Associativa

Precisamos obter a igualdade. Assim, substituímos os vetores como segue:

A propriedade A1é verificada.

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A 2 ) Propriedade Comutativa

Precisamos verificar se . Assim, substituímos os vetores como segue:

A propriedade A2 é verificada.

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A 3 ) Elemento Neutro

Podemos usar nesta propriedade o vetor nulo :

A propriedade A3 é verificada.

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A 4 ) Elemento Oposto

Podemos usar nesta propriedade o vetor . Dessa forma:

A propriedade A4 é verificada.

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Vamos testar, agora, os 4 axiomas relativos à multiplicação. Novamente, escolhemos , e . Temos então:

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M 1 ) Propriedade Associativa

Queremos mostrar que .

Mas também,

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Assim, temos a igualdade e a propriedade M1é verificada.

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M 2 ) Propriedade Distributiva Relativa à Soma de Escalares

Vamos calcular inicialmente.

Mas também vemos que

Assim, obtemos a igualdade , e a propriedade M2é verificada.

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M 3 ) Propriedade Distributiva Relativa à Soma de Vetores

Começaremos calculando:

Agora,observamos que

Chegamos, então, à igualdade , e a propriedade M3é verificada.

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M 4 ) Elemento Neutro

Queremos provar que .

Mas 0 é diferente de u. Deveríamos ter conseguido provar que .

Dessa forma, a propriedade M4 não é válida.

Passo 13 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a resposta para a questão é que este não é um espaço vetorial, já que falhou o axioma M4.

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