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Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

Paulo Winterle, Alfredo SteinbruchIBSN: 9780074504123

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Você aprendeu, no capítulo 3 do livro, que o produto interno é definido como uma função que associa um número real, em pares, a um conjunto de vetores. Mas, para isso, o produto interno precisa seguir algumas propriedades chamadas de axiomas.

Acompanhe a resolução.

Passo 2 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Vamos verificar a seguinte operação:

Passo 3 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considerando os vetores e , devemos mostrar que essa operação define um produto interno no :

Então, vamos verificar esses axiomas:

P1)

P2)

P3), para todo real

P4)e se, e somente se,

Mas, afinal, o que são axiomas?

Eles são definições aplicáveis e válidas, inquestionáveis. Aplicado na matemática, eles têm como função determinar regras ou definições para a verificação de propriedades de uma questão.

Passo 4 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos voltar à operação (1) em que temos:

Para que possamos verificar se essa operação é um produto interno, precisamos aplicar cada um dos axiomas definidos.

Passo 5 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos começar verificando o axioma (P1) que estabelece: . Considerando a informação de que os vetores são: e .

Como a operação (1) nos diz que: , temos que calcular :

Podemos, então, afirmar que , pois:

Passo 6 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Partimos, agora, para o axioma (P2), que diz:

Para isso, temos que usar o vetor e ficamos com os três vetores:

Passo 7 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos substituir esses vetores no (P2):

Para que seja um produto interno, a operação (1) deve ser igual a :

Passo 8 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, temos que calcular :

Assim, obtivemos a seguinte informação:

Ou seja,

Passo 9 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, temos que conferir o axioma (P3) que diz:

Temos que a operação (1) é igual a:

Substituindo os vetores e , em (P3), temos:

Passo 10 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, se multiplicarmos a operação (1) por , teremos:

Então, agora, temos que:

Ou seja:

Confirmando o axioma (P3).

Passo 11 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para terminar, vamos verificar o axioma (P4):

e se, e somente se,

Temos, então, que calcular o produto interno :

, que é maior que zero.

Passo 12 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Essa equação só será igual a zero se , ou seja, se o vetor .

Com todas essas verificações, confirmamos que a resposta da questão é que:

é um produto interno.

Passo 13 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Vamos confirmar se a seguinte operação é um produto interno:

Para que possamos verificar se a operação é um produto interno, precisamos aplicar cada um dos axiomas definidos.

Passo 14 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos começar verificando o axioma (P1), que estabelece:

Temos a informação de que os vetores são: e .

Como a operação (1) nos diz que:

Passo 15 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos calcular :

Podemos, então, afirmar que , pois:

Passo 16 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Partimos, agora, para o axioma (P2), que diz:

Para isso, devemos usar o vetor e ficamos com os três vetores:

Passo 17 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos substituir esses vetores no (P2):

Passo 18 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para que seja um produto interno, a operação (1) deve ser igual a :

Passo 19 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, temos que calcular :

Obtivemos a informação que:

Ou seja:

Passo 20 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos conferir o axioma (P3), que diz:

Temos que a operação (1) é igual a

Substituindo os vetores e em (P3), temos:

Passo 21 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, se multiplicarmos a operação (1) por , temos:

Então, agora, nós temos que:

Ou seja:

Confirmando, assim, o axioma (P3).

Passo 22 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para terminar, vamos verificar o axioma (P4):

e se, e somente se,

Temos, então, que calcular o produto interno :

, que é maior que zero.

Essa equação só será igual a zero se , ou seja, se o vetor .

Feitas as verificações, confirmamos que é um produto interno.

Passo 23 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Passo 24 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste item, vamos confirmar se a seguinte operação é produto interno:

Para que possamos verificar se essa operação é um produto interno, precisamos aplicar cada um dos axiomas definidos.

Passo 25 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos começar verificando o axioma (P1), que estabelece:

Então, temos a informação de que os vetores são: e .

Como a operação (1) nos diz que:

Passo 26 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos calcular :

Assim, podemos afirmar que: , pois:

Passo 27 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Partimos, agora, para o axioma (P2), que diz:

Para isso, temos que usar o vetor e ficamos com os três vetores:

Passo 28 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos substituir esses vetores no (P2):

Passo 29 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para que seja um produto interno, essa operação (1) deve ser igual a :

Passo 30 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, temos que calcular :

Obtemos, então, a informação que:

Ou seja:

Passo 31 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, temos que conferir o axioma (P3), que diz

Temos que a operação (1) é igual a

Substituindo os vetores e em (P3), temos:

Passo 32 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, se multiplicarmos a operação (1) por , temos:

Então, agora, nós temos que:

Ou seja:

Confirmando, então, o axioma (P3).

Passo 33 de 33keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para terminar, vamos verificar o axioma (P4):

e se, e somente se,

Temos, então, que calcular o produto interno :

, que é maior que zero.

A equação só será igual a zero se , ou seja, se o vetor .

Feitas as verificações, confirmamos que é um produto interno.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.