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Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

Paulo Winterle, Alfredo SteinbruchIBSN: 9780074504123

Elaborado por professores e especialistas

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Vamos colocar em prática nossos estudos sobre operadores lineares e sobre transformações lineares T de um espaço vetorial V em si mesmo.

Como você já sabe, T:V, podemos chamá-los de operadores lineares sobre V.

Também sabemos que podemos definir operadores inversíveis quando:

I)

II) é inversível se:

III) T como inversível, transforma base em base. Se B é uma base de V, T(B) também é base de V.

IV) Se T é inversível e B uma base de V, então é linear e:

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Acompanhe!

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Podemos verificar também mudança de bases:

Sejam as bases:

Sendo a matriz:

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Dados operadores lineares T em e em , devemos verificar quais são inversíveis e, nos casos afirmativos, determinaremos uma formula para

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a)

==

Primeiramente, definimos o sistema da forma matricial, em que:

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Na sequência, verificamos a determinante:

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Como 2 é diferente de 0, concluímos que é inversível.

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Agora, para encontrarmos a fórmula para , precisamos encontrar a inversa de T:

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Logo:

=

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b)

==

Definimos o sistema da forma matricial, em que:

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Na sequência, verificamos a determinante:

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Como -1 é diferente de 0, concluímos que é inversível.

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Depois, para encontrarmos a fórmula para , precisamos encontrar a inversa de T:

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Logo:

=

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c)

==

Definimos o sistema da forma matricial, em que:

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Na sequência, verificamos a determinante:

Passo 17 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como det [T] = 0, concluímos que não é inversível.

Passo 18 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d)

==

Definimos o sistema da forma matricial, em que:

Passo 19 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, verificamos a determinante:

Passo 20 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como -2 é diferente de 0, concluímos que é inversível.

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Para encontrarmos a fórmula para , precisamos encontrar a inversa de T:

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Logo:

=

Passo 23 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

e)

==

Neste caso, podemos definir diretamente:

=

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f)

==

Definimos o sistema da forma matricial, em que:

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Na sequência, verificamos a determinante:

Passo 26 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como -1 é diferente de 0, concluímos que é inversível.

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Para encontrarmos a fórmula para , precisamos encontrar a inversa de T:

Obtemos a inversa:

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Logo:

=

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g)

==

Definimos o sistema da forma matricial, em que:

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Na sequência, verificamos a determinante:

Passo 31 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como -1 é diferente de 0, concluímos que é inversível.

Passo 32 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrarmos a fórmula para , precisamos encontrar a inversa de T:

Obtemos a inversa:

Passo 33 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo:

=

Passo 34 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

h)

==

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Definimos o sistema da forma matricial, em que:

Passo 36 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, verificamos a determinante:

Passo 37 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como -1 é diferente de 0, concluímos que é inversível.

Passo 38 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrarmos a fórmula para , precisamos encontrar a inversa de T:

Obtemos a inversa:

Passo 39 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo:

=

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i)

==

Definimos o sistema da forma matricial, em que:

Passo 41 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, verificamos a determinante:

Como é igual a zero, concluímos que não é inversível.

Passo 42 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

j)

==

Definimos o sistema da forma matricial, em que:

Passo 43 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, verificamos a determinante:

Passo 44 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como 2 é diferente de 0, concluímos que é inversível.

Passo 45 de 45keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrarmos a fórmula para , precisamos encontrar a inversa de T:

Obtemos a inversa:

Logo:

=

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.