Álgebra Linear
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Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

J L BoldriniIBSN: 9788529402024

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este exercício, vamos relembrar que o uso matemático de matrizes é bastante útil pela capacidade de ordenamento e simplificação de problemas. Para isso, são utilizados comumente os operadores de soma, subtração, multiplicação entre matrizes e multiplicação entre matriz e número escalar.

Vamos lá!

Passo 2 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Para somarmos duas matrizes, vamos precisar verificar se as duas possuem uma quantidade de linhas iguais e se o número de colunas também é igual.

Passo 3 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja que a matriz A possui 2 linhas e 3 colunas, e que a matriz B também possui 2 linhas e 3 colunas, portanto, vamos realizar a soma de A+B, certo?

Passo 4 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pensando nas matrizes como sendo 2 tabelas do mesmo formato, para somá-las, devemos somar os termos que possuem a mesma localização nessa tabela. Devemos somar o termo localizado na primeira linha e primeira coluna da matriz A, com o termo localizado na primeira linha e na primeira coluna da matriz B. O termo da primeira linha e segunda coluna da matriz A, com o termo da primeira linha e segunda coluna da matriz B, e assim por diante.

Passo 5 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Compreendeu bem até aqui?

Passo 6 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos somar termo por termo para chegarmos no seguinte resultado:

Passo 7 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos resolver essas pequenas somas para ter como resposta o resultado a seguir:

Passo 8 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Nesta atividade, queremos multiplicar A por C. Para multiplicarmos duas matrizes, precisamos verificar se o número de colunas da matriz à esquerda é igual ao número de linhas da matriz à direita.

Passo 9 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja que a matriz à esquerda é A, na qual possui 3 colunas, e a matriz C, à direita, possui 3 linhas, portanto, podemos realizar o produto , certo?

Passo 10 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que fixando uma linha da matriz A, fazemos cada termo da 1ª linha ser multiplicado pelo termo correspondente da 1ª coluna da outra matriz, e, depois, somamos os resultados dessas multiplicações.

Por exemplo, na multiplicação:

,

devemos pegar a primeira linha de A;

Imagem 3

e fazer este cálculo:

Passo 11 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, devemos pegar a segunda linha de A e fazer o mesmo:

Imagem 4

Para, então, termos esse cálculo:

Passo 12 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 13 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos ter que o resultado da matriz é .

Passo 14 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Agora, queremos multiplicar B por C. Para multiplicarmos duas matrizes, precisamos verificar se o número de colunas da matriz à esquerda é igual ao número de linhas da matriz à direita.

Passo 15 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A matriz à esquerda é a B e possui 3 colunas, sendo que a matriz C, à direita, possui 3 linhas. Nesse caso, podemos realizar o produto .

Passo 16 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao fixarmos uma linha da matriz B, fazemos cada termo da 1ª linha da matriz ser multiplicado pelo termo correspondente da 1ª coluna da outra matriz. Na sequência, vamos somar os resultados dessas multiplicações.

Passo 17 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja, por exemplo, que na multiplicação:

,

devemos pegar a primeira linha de B:

Imagem 7

E transformar nestes cálculos:

Passo 18 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, vamos pegar a segunda linha de B e fazer o mesmo:

Imagem 8

Então, vamos ter:

Passo 19 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O resultado dos seus cálculos da matriz será: .

Passo 20 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d)

Vamos, agora, multiplicar C por D. Para multiplicarmos duas matrizes, precisamos verificar se o número de colunas da matriz à esquerda é igual ao número de linhas da matriz à direita.

Passo 21 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A matriz à esquerda é a C e possui 1 coluna, a matriz D, à direita, possui 1 linha. Com esses elementos, podemos realizar o produto .

Passo 22 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos fixar uma linha da matriz, fazendo com que cada termo da 1ª linha da matriz seja multiplicado pelo termo correspondente da 1ª coluna da outra matriz, e, depois, vamos somar os resultados dessas multiplicações.

Passo 23 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe, por exemplo, que na multiplicação:

,

devemos pegar a primeira linha de C para ter:

Imagem 12

E fazer este cálculo:

Passo 24 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, vamos pegar a segunda linha de C e fazer a mesma operação:

Imagem 19

Então, você terá este resultado:

Passo 25 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos pegar a terceira linha de C e fazer o mesmo, veja:

Imagem 15

Então, vamos obter:

Passo 26 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como utilizamos a primeira coluna de D, esses resultados formarão a primeira coluna da matriz resposta:

Passo 27 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para finalizar o cálculo, vamos precisar usar a segunda coluna de D. Temos que pegar a primeira linha de C, assim:

Imagem 20

Para fazer este cálculo:

Passo 28 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, vamos pegar a segunda linha de C e fazer o mesmo:

Imagem 21

Então, teremos:

Passo 29 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, vamos pegar a terceira linha de C e fazer o mesmo procedimento, veja:

Imagem 22

Então, vamos obter:

Passo 30 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como utilizamos a primeira coluna de D, esses resultados formarão a segunda coluna da matriz resposta:

Passo 31 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

e)

Prosseguindo nosso estudo, vamos multiplicar D por A. Para multiplicarmos duas matrizes, precisamos verificar se o número de colunas da matriz à esquerda é igual ao número de linhas da matriz à direita.

Passo 32 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A matriz à esquerda é a D e possui 2 colunas, já a matriz A, à direita, possui 2 linhas, portanto, vamos efetuar o produto .

Passo 33 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fixando uma linha da matriz, vamos fazer cada termo da 1ª linha da matriz ser multiplicado pelo termo correspondente da 1ª coluna da outra matriz, em seguida, somamos os resultados dessas multiplicações.

Passo 34 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por exemplo, na multiplicação:

,

Devemos pegar a primeira linha de D e a primeira coluna de A, desta forma:

Imagem 29

Para obter este resultado:

Passo 35 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, vamos pegar a segunda coluna de A e fazer o mesmo processo:

Imagem 30

Então, vamos ter:

Passo 36 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, vamos pegar a terceira linha de A e efetuar o mesmo, veja:

Imagem 31

Então, como resultado, teremos:

Passo 37 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como utilizamos a primeira linha de D e as 3 colunas de A, a matriz resultado terá 1 linha e 3 colunas:

Passo 38 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

f)

Continuando nosso exercício, vamos multiplicar D por B. Para multiplicarmos duas matrizes, temos de verificar se o número de colunas da matriz à esquerda é igual ao número de linhas da matriz à direita.

Passo 39 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A matriz à esquerda é a D e esta possui 2 colunas e a matriz B, à direita, possui 2 linhas; dessa forma, podemos realizar o produto .

Passo 40 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao fixarmos uma linha da matriz, fazemos com que cada termo da 1ª linha da matriz seja multiplicado pelo termo correspondente da 1ª coluna da outra matriz, em seguida, somamos os resultados dessas multiplicações.

Passo 41 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por exemplo, na multiplicação:

Devemos pegar a primeira linha de D e a primeira coluna de B, como descrito abaixo:

Imagem 35

Fazendo:

Passo 42 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, vamos para a segunda coluna de B e fazemos o mesmo processo:

Passo 43 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 36

Então, vamos ter:

Passo 44 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Prosseguindo, devemos ir para a terceira coluna de B e fazer o mesmo procedimento, dessa forma:

Imagem 37

Para, então, obter:

Passo 45 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Novamente para utilizarmos a primeira linha de D e as 3 colunas de B, você verá que a matriz resultado terá 1 linha e 3 colunas:

.

Passo 46 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

g)

Neste exercício, queremos multiplicar a matriz A por -1. Veja que isso é a mesma coisa que multiplicar cada um dos elementos de A por -1.

Passo 47 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ou seja, vamos ver que:

Passo 48 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 49 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvermos cada uma das multiplicações, que nada mais é do que a inversão do sinal do número, vamos chegar ao resultado:

Passo 50 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

h)

E, para finalizar, vamos multiplicar a matriz D por -1. Observe que isso será o mesmo que multiplicar cada um dos elementos de D por -1.

Passo 51 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Isto é, você vai obter este resultado:

Passo 52 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 53 de 53keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E ao resolvermos cada uma das multiplicações, que, na verdade, é a inversão do sinal do número, vamos ter como resultado:

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.