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Álgebra Linear

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

J L BoldriniIBSN: 9788529402024

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Você já deve saber que as cônicas ou seções cônicas foram estudadas pelos gregos e desenvolvidas a partir das suas propriedades geométricas. Então, vamos classificar a seguinte cônica:

Passo 2 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para isso, devemos seguir cinco passos básicos. Inicialmente, vamos escrever a equação dada na forma matricial.

Passo 3 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, você precisa diagonalizar a forma quadrática para eliminarmos os termos mistos. Para isto, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores ortonormais, isto é, autovetores normalizados.

Passo 4 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Feito, isso, vamos obter as novas coordenadas:

.

Passo 5 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, você precisa substituir as novas coordenadas na equação para obtermos a equação na nova base .

Passo 6 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, você precisa eliminar os termos lineares das coordenadas, cujos autovetores são não nulos.

Passo 7 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, escrevemos a equação acima na forma matricial, obtendo:

Passo 8 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, vamos agora diagonalizar a forma quadrática para eliminarmos os termos mistos.

Então, calculando os autovalores e os autovetores já normalizados da matriz obtemos para e para .

Passo 9 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, como e , obtemos:

, onde .

Passo 10 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que a primeira coluna de é dada pelo vetor e a segunda coluna pelo .

Passo 11 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, substituindo as novas coordenadas na equação segue que a equação da cônica em relação ao referencial dado pelos autovetores será:

Passo 12 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Isto é:

Passo 13 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que possui termos lineares. Vamos então eliminar os termos lineares onde isto é possível.

Passo 14 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, temos que:

e

e

e .

Passo 15 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, temos:

.

Logo, a equação da cônica em relação ao referencial e será dada por:

.

Ou seja:

Passo 16 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos colocar a equação na forma geral. Então, temos que a equação é equivalente a , e dividindo ambos os membros por , obtemos a seguinte equação:

.

Passo 17 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a equação acima é a equação de uma elipse.

Passo 18 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos determinar agora o centro desta elipse:

Quando , temos e portanto .

E quando , temos e .

Logo o seu centro é o ponto

Passo 19 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, essa cônica é uma elipse: em relação ao referencial de centro no ponto e eixos na direção de e na direção de.

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