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Álgebra Linear

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

J L BoldriniIBSN: 9788529402024

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, vamos colocar em prática o conhecimento adquirido neste capítulo. Vamos esboçar o gráfico e responder ao que se pede com relação às cônicas abaixo. Vamos lá?

Passo 2 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Primeiramente, vamos esboçar o gráfico da cônica Seu esboço é dado pela figura abaixo:

Imagem 2

Passo 3 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, para calcularmos o que o exercício pede. Para isso, precisamos deixar a elipse na forma padrão Então, vamos dividir ambos os lados da equação por 100. Assim, obtemos:

Assim, e . Como , então:

E, portanto, os focos da elipse são:

E

Passo 4 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcular a excentricidade, basta usarmos a fórmula:

Por fim, suas diretrizes são as retas:

Passo 5 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui focos e ; excentricidade ; e diretrizes e .

Passo 6 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Um esboço do gráfico da cônica é dado a seguir:

Imagem 4

Agora, para calcularmos o que o exercício pede, precisamos deixar esta elipse na forma padrão Dividindo ambos os lados da equação dada por 100 obtemos:

Assim, e . Como , então:

E, portanto, os focos da elipse são:

E

Passo 7 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcular a excentricidade, basta usarmos a fórmula seguinte:

E as suas diretrizes são as retas:

Passo 8 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui focos e ; excentricidade ; e diretrizes e .

Passo 9 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Um esboço do gráfico da cônica é dado a seguir:

Imagem 5

Temos que e . Como , então

E, portanto, os focos da elipse são:

e

Passo 10 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcular a excentricidade, basta usarmos a fórmula:

E as suas diretrizes são as retas:

Passo 11 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui focos e ; excentricidade ; e diretrizes e .

Passo 12 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Um esboço do gráfico da cônica é dado a seguir:

Imagem 6

Passo 13 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Esta cônica é um círculo centrado na origem e de raio . Assim, e, portanto:

Logo, os focos do círculo são: .

Passo 14 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Daí, a excentricidade:

E o círculo não possui diretrizes.

Passo 15 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui um único foco ; excentricidade ; e não possui diretrizes .

Passo 16 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo:

Imagem 8

Passo 17 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, para calcularmos seus focos, diretrizes e excentricidades, precisamos deixar esta elipse na forma padrão Dividindo ambos os lados da equação por 100, obtemos o seguinte:

Assim, e . Como , então:

E, portanto, os focos da hipérbole são:

E

Passo 18 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcular a excentricidade, basta usarmos a fórmula:

Por fim, as sua diretrizes são as retas:

Passo 19 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui focos e; excentricidade ; e diretrizes e .

Passo 20 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(f)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo:

Imagem 9

Passo 21 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos deixar esta elipse na forma padrão Dividindo ambos os lados da equação por 100, teremos:

Assim, e . Como , então:

E, portanto, os focos da hipérbole são:

E

Passo 22 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcular a excentricidade, basta usarmos a fórmula:

E as sua diretrizes são as retas:

Passo 23 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui focos e; excentricidade ; e diretrizes e .

Passo 24 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(g)

Um esboço do gráfico da cônica é dado a seguir:

Passo 25 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 10

Passo 26 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos que e . Como , então:

E, portanto, os focos da hipérbole são:

E

Passo 27 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcular a excentricidade, basta usarmos a fórmula:

E as sua diretrizes são as retas:

E

Passo 28 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui focos e; excentricidade ; e diretrizes e .

Passo 29 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(h)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo:

Imagem 11

Passo 30 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos deixar esta elipse na forma padrão Dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:

Assim, . Portanto:

Logo, como , os focos da hipérbole são:

;

;

E

Passo 31 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcular a excentricidade, basta usarmos a fórmula:

Novamente, como , as diretrizes são as retas:

Passo 32 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui focos , , e ; excentricidade ; e diretrizes , , e

Passo 33 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(i)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo:

Imagem 12

Passo 34 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, para calcularmos seu foco e sua diretriz, precisamos deixar esta parábola na forma padrão . Temos que, é equivalente a .

Assim, e, portanto, o seu foco é:

Conforme vimos, a excentricidade de qualquer parábola é

E a sua diretriz é a reta:

Passo 35 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui foco ; excentricidade ; e diretriz .

Passo 36 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(j)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo. Veja:

Passo 37 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 14

Passo 38 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcularmos seu foco e sua diretriz precisamos deixar esta parábola na forma padrão . Temos que, é equivalente a .

Assim, e, portanto, o seu foco é:

Sabemos que a excentricidade de qualquer parábola é

E a sua diretriz é a reta:

Passo 39 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui foco ; excentricidade ; e diretriz .

Passo 40 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(k)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo:

Imagem 16

Passo 41 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos que e, portanto, o seu foco é:

Como vimos, a excentricidade de qualquer parábola é .

E a sua diretriz é a reta:

Passo 42 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui foco ; excentricidade ; e diretriz .

Passo 43 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(l)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo:

Imagem 17

Vamos calcular seu foco e sua diretriz. Para isso, precisamos deixar esta parábola na forma padrão . Temos que, é equivalente a .

Assim, e, portanto, o seu foco é:

Você já sabe que a excentricidade de qualquer parábola é .

E a sua diretriz é a reta:

Passo 44 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a cônica possui foco ; excentricidade ; e diretriz .

Passo 45 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(m)

Um esboço do gráfico da cônica é dado abaixo:

Imagem 19

Passo 46 de 46keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste caso, não é possível calcularmos foco, excentricidade e nem diretriz, uma vez que esta cônica é uma hipérbole degenerada.

Vamos analisar agora o papel da excentricidade. Note, primeiramente, que a excentricidade é responsável pela forma da cônica e se , teremos uma elipse; se , teremos uma parábola; e se , teremos uma hipérbole.

Ademais, no caso da elipse, no caso especial do círculo, e, quanto mais próximo de 1 estiver , mais achatada será a elipse.

Já no caso das hipérboles, podemos perceber que hipérboles com excentricidades muito grande têm assíntotas tendendo a retas verticais e já hipérboles com excentricidades próximas de 1, têm assíntotas próximas de retas horizontais.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.