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Álgebra Linear

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

J L BoldriniIBSN: 9788529402024

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, vamos mostrar que, na definição de variedade linear 14.2.1, . Vamos lá!

Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A definição 14.2.1 nos diz que um subconjunto A de um espaço vetorial V é uma variedade linear de V se existe um subespaço W de V e um vetor de V, tal que:

.

Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como W é um espaço vetorial, o elemento nulo está em W. Portanto, podemos escrever , com . Isso mostra que .

Passo 4 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos verificar se o vetor é único. Perceba que se escolhermos algum tomarmos , e definirmos , pela definição de variedade linear, qualquer elemento v de A pode ser escrito como

Passo 5 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como W é espaço vetorial e , então, . Assim, está definindo a mesma variedade linear A que é definida por . Desta maneira, podemos concluir que não é único.

Passo 6 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos agora verificar se W é único. Vamos supor que existam dois subespaços, e tais que e , com .

Passo 7 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pelo que mostramos anteriormente, sabemos que . Sendo assim, existe tal que Desta forma, .

Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Da mesma forma, como , existe tal que Assim,.

Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja . Então, . Isto significa que existe , tal que . Desta forma, . Como pois é espaço vetorial, então Como foi escolhido arbitrariamente, isto mostra que .

Passo 10 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja agora . Então, . Quer dizer existe , tal que . Desta forma, . Como pois é espaço vetorial, então, Como foi escolhido, arbitrariamente, o que mostra que .

Passo 11 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como e , concluímos, então, que . O que nos dá que o subespaço é único na definição de variedade linear.

Passo 12 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A seguir, temos uma figura que mostra um exemplo de variedade linear em :

Imagem 1

Claramente, percebemos que o vetor v que define a variedade linear A pertence a A.

Passo 13 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na figura a seguir, é possível perceber que o vetor v não é único.

Passo 14 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 4

Passo 15 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Utilizando ainda, o exemplo visto em duas dimensões, repare que o espaço W determina a “inclinação” da variedade linear, ou seja, a variedade linear A é paralela ao espaço W. Como o espaço linear deve conter, necessariamente, a origem, não pode haver outro espaço diferente de W que defina a mesma variedade linear A.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.