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Álgebra Linear

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

J L Boldrini IBSN: 9788529402024

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembre que o espaço vetorial é o espaço das -uplas de números reais, isto é, e o espaço vetorial é o espaço das matrizes reais.

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)Suponha que é o vetor nulo. Então, pela propriedade (iii) de espaço vetorial, para qualquer vetor , temos . Assim:

Portanto, para cada , temos , de onde concluímos que .

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o vetor nulo de é a -upla de zeros .

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considere, agora, um vetor qualquer e seja seu vetor oposto. Observe que, pela propriedade (iv) de espaço vetorial, devemos ter . Assim:

Portanto, para todo temos , isto é, .

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o vetor oposto de é dado por .

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)Suponha que é o vetor nulo. Então, pela propriedade (iii) de espaço vetorial, para qualquer vetor , temos . Assim:

Portanto, para cada e , temos , de onde concluímos que.

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o vetor nulo de é a matriz nula .

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considere, agora, um vetor qualquer e seja seu vetor oposto. Observe que, pela propriedade (iv) de espaço vetorial, devemos ter . Assim:

Portanto, para todo e temos , isto é, .

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o vetor oposto de é dado por .

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