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Álgebra Linear

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear

J L BoldriniIBSN: 9788529402024

Elaborado por professores e especialistas

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Neste exercício, vamos mostrar que as funções definidas nos exemplos de 8.1 são produtos internos. Acompanhe a resolução!

Passo 2 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembre-se de que, para mostrarmos que é um produto interno, você deve demonstrar que:

i) e se, e somente se, ;

ii) ;

iii) ;

iv) .

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Exemplo 1:

Considere o espaço vetorial e a função definida nos vetores e por .

Passo 4 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, observe que uma vez que é soma de quadrados.

Passo 5 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Além disso, se , então, pela igualdade acima, tem-se . Mas, como é positivo, devemos ter obrigatoriamente , e . Logo, , e e, assim, , verificando o primeiro requisito.

Passo 6 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o segundo, observe que, se , temos:

Passo 7 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o terceiro requisito, se , observe que:

Passo 8 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim, para o quarto requisito, temos:

Passo 9 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, é, de fato, um produto interno em .

Passo 10 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Exemplo 2:

Considere o espaço vetorial e sejam e . Seja ainda a função definida por .

Passo 11 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que, se , então:

Logo, é soma de dois quadrados e, portanto, .

Além disso, se , então, pela igualdade acima, temos . Mas, como é positivo, devemos ter obrigatoriamente e . Logo, e e, assim, , verificando o requisito (i).

Passo 12 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja , então:

Verificando, desta forma, o requisito (ii).

Passo 13 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja , então:

Verificando, desta forma, o requisito (iii).

Por fim, temos:

Verificando, desta forma, o requisito (iv).

Passo 14 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, é um produto interno em .

Passo 15 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Exemplo 3:

Considere o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo . Dadas e , vamos definir que:

.

Passo 16 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desta maneira, observe que, se , temos:

Já que é sempre positivo.

Passo 17 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Além disso, se , então, pela igualdade acima, tem-se . Mas, como é uma função positiva, devemos ter obrigatoriamente, , assim, verificando o primeiro requisito.

Passo 18 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o segundo, observe que, se , temos que:

Passo 19 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o terceiro requisito, observe que se , temos:

Passo 20 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim, para o quarto requisito, obtemos:

Passo 21 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A resposta para esta questão é que é, de fato, um produto interno no espaço vetorial .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.