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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard Anton IBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Nos Exercício, resolva o sistema invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema.

TEOREMA

Se A for uma matriz invertível n × 1, então para cada matriz b de tamanho n × 1, o sistema de equações Ax= b tem exatamente uma solução, a saber, x = A–1b.

Prova Como A(A–1b) = b, segue que x = A–1b é uma solução de Ax = b. Para mostrar que essa é a única solução, vamos supor que x0 seja uma solução arbitrária e mostrar que, necessariamente, x0 é a solução A–1b.

Se x0 for uma solução qualquer, então Ax0 = b. Multiplicando ambos lados dessa equação por A–1, obtemos x0 = A–1b.

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O Teorema 1.6.2 nos diz que, se A for uma matriz invertível , então, para cada matriz b de tamanho , o sistema de equações tem exatamente uma solução, a saber

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sabemos que, dada uma matriz de tamanho da forma , sua matriz inversa é da forma .

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

No formato matricial, esse sistema pode ser escrito com em que

, e e, portanto, temos o sistema .

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A matriz inversa de A é .

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, temos que é resolvido efetuando o produto .

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Encontramos e, deste modo, e .