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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard Anton IBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Uma placa no formato de um disco circular tem temperaturas de contorno de 0 na metade esquerda de sua circunferência e de 1° na metade direita de sua circunferência. Sobrepomos ao disco uma rede com quatro pontos de malha interiores (ver Figura).

(a) Usando a propriedade discreta do valor médio, escreva o sistema linear t = Mt + b de tamanho 4 × 4 que determina as temperaturas aproximadas nos quatro pontos de malha interiores.

(b) Resolva o sistema linear da parte (a).

(c) Use o esquema de iteração de Jacobi com t(0) = 0 para gerar as iteradas t(1), t(2), t(3), t(4) e t(5) do sistema linear da parte (a). Qual é o “vetor erro” t(5)t, em que t é a solução encontrada na parte (b)?

(d) Usando certos métodos avançados, pode ser mostrado que as temperaturas exatas nos quatro pontos de malha são t1 = t3 = 0,2871 e t2 = t4 = 0,7129. Quais são os erros percentuais nos valores encontrados na parte (b)?

Figura

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pela propriedade discreta do valor médio temos

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo o sistema linear t=Mt+b de tamanho 4x4 que determina as temperaturas aproximadas nos quatro pontos de malha interiores é:

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

O sistema a solucionar é

Então a solução e t=(1/4,3/4,1/4,3/4).

(c)

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A sucessão é

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Obtendo as iterações de Jacobi. O vetor erro é:

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Se temos que , e pela parte (b) temos que:

Então os erros percentuais para é -12.9% e o erro para é 5.2%

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