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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Suponha que uma certa população animal seja dividida em duas faixas etárias e tenha uma matriz de Leslie

(a) Calcule o autovalor positivo λ1 de L e o correspondente autovetor x1.

(b) Começando com o vetor de distribuição etária inicial

calcule x(1), x(2), x(3), x(4) e x(5), arredondando ao inteiro mais próximo quando necessário.

(c) Calcule x(6) usando a fórmula exata x(6) = Lx(5) e a fórmula aproximada x(6) ≃ λ1x(5).

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcularmos o autovalor, precisamos resolver a seguinte equação:

em que I é a matriz identidade.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Calculando, então, o determinante, temos:

E calculando o determinante:

Igualando a zero e resolvendo por Bháskara, obtemos que o autovalor positivo é .

Para obtermos o autovetor associado, precisamos resolver a seguinte equação:

Substituindo os valores,

E igualando a zero, teremos o seguinte sistema

Mas, como as equações são dependentes, o sistema é possível e indeterminado, no qual a única condição, que surge após isolarmos um dos termos, é de que .

Para , teremos , e o vetor é um autovetor associado ao autovalor dado.

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para calcularmos , devemos fazer

Para calcularmos , devemos fazer

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcularmos , teremos

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Analogamente, para

E, por fim, para

(c)

Calculando pela fórmula exata, teremos:

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E pela fórmula aproximada:

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.