54
Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

ALUNOS QUE TAMBÉM VISUALIZARAM

  • +9.512

Exercício

Em cada parte, determine se o vetor v é uma combinação convexa dos vetores v1, v2 e v3. Faça isso resolvendo as Equações (1) e (3) para c1, c2 e c3 e verificando se esses coeficientes são não negativos.

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvê-lo, repetimos a primeira equação e substituímos a segunda pela diferença entre a segunda e a primeira equação. Então:

O sistema é indeterminado e fazendo , encontramos a partir de substituições nas demais equações obtidas anteriormente:

Passo 2 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E teremos então:

Passo 3 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Se v for uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, então, existem constantes reais c1, c2 e c3, para as quais:

Diante do exposto, verificaremos se existe solução para a equação:

Então, temos:

Obtemos, então, o seguinte sistema:

Passo 4 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvê-lo, repetimos a primeira equação e substituímos a segunda pela diferença entre a segunda e a primeira equação. Então:

Ao dividirmos a segunda linha do sistema por dois, conseguimos escrever cada variável em função de :

Consideramos que e ao substituirmos nas demais equações do sistema, temos:

E também:

Passo 5 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De forma geral, como , e , podemos escrever:

Passo 6 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 7 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, concluímos que v é uma combinação linear de , e .

Passo 8 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Quando por exemplo, fazemos , encontramos:

Passo 9 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

, e

Passo 10 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse caso, temos .

Passo 11 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, concluímos que v é uma combinação linear de , e .

Passo 12 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Se v for uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, então, existem constantes reais c1, c2 e c3, para as quais:

Diante do exposto, verificaremos se existe solução para a equação:

Passo 13 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, teremos:

Obtemos, então, o seguinte sistema:

Passo 14 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvê-lo, repetimos a primeira equação e substituímos a segunda pela diferença entre a segunda e a primeira equação. Então:

De , concluímos que e, ao considerarmos esse valor na primeira equação, temos . Ao calcular , concluímos que:

Portanto, podemos expressar v como combinação linear de , e , uma vez que existem constantes reais para as quais . Essa combinação linear é:

Passo 15 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 16 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, concluímos que v é uma combinação linear de , e .

Passo 17 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Se v for uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, então, existem constantes reais c1, c2 e c3, para as quais:

Passo 18 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Diante do exposto, verificaremos se existe solução para a equação:

Então, teremos:

Obtemos, então, o seguinte sistema:

Passo 19 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvê-lo, repetimos a primeira equação e substituímos a segunda pela diferença entre a segunda e a primeira equação. Então:

De , concluímos que e, ao considerarmos esse valor na primeira equação, temos . Assim, ao calcularmos , concluímos que:

Portanto, podemos expressar v como combinação linear de , e , uma vez que existem constantes reais para as quais . Essa combinação linear é:

Passo 20 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 21 de 21keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, concluímos que v é uma combinação linear de , e .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.