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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, encontre vetores preço não negativos que satisfaçam a condição de equilíbrio (3) com a matriz de troca dada.

(a)

(b)

(c)

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrarmos um vetor preço não negativo satisfazendo a condição de equilíbrio, precisamos encontrar um vetor não negativo p que seja solução do sistema (IE)p = 0, sendo E a matriz de troca. Assim, o vetor p, de coordenadas x e y, deve satisfazer

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ou seja,

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim,

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E qualquer solução dessa forma que forneça valores não negativos para x e y funciona. Tomando y = 3, por exemplo, obtemos x = 2 e

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Tal como na parte (a), novamente devemos resolver (IE)p = 0, para encontrarmos um vetor que satisfaça a condição de equilíbrio, sendo agora E a matriz de troca dada. Como a matriz de troca tem ordem 3, a matriz identidade a ser usada tem de ser de ordem 3 e p também terá três coordenadas: x, y e z. Então o sistema a ser resolvido agora será:

Procedendo pela eliminação gaussiana, obtemos:

.

Como as duas últimas linhas são múltiplas uma da outra, se continuarmos a eliminação, somente anularemos a última linha, o que não nos ajudará em nada, e, portanto, podemos interromper a eliminação. Assim, para que x, y e z sejam coordenadas de p satisfazendo a condição de equilíbrio, basta que sejam números não negativos satisfazendo simultaneamente as condições a seguir.

Como temos liberdade para a escolha de z, podemos tomar z = 30. Desse modo as coordenadas de p serão números inteiros. Mais especificamente, teremos

.

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Tal como no item anterior, a matriz de troca E tem ordem 3. Assim, o vetor p procurado tem três coordenadas: x, y e z e a matriz identidade I usada para obter a condição de equilíbrio (IE)p = 0 também é a matriz identidade de ordem 3. Assim, obtemos

Usando novamente a eliminação gaussiana, obtemos, após o primeiro passo:

.

Como as últimas duas linhas são múltiplas uma da outra, podemos interromper a eliminação após multiplicar a segunda linha por 130/79, a fim de obter 1 na entrada (2,2) da matriz. Assim, obtemos:

.

Assim, para que x, y e z sejam coordenadas de p satisfazendo a condição de equilíbrio, basta que sejam números não negativos satisfazendo simultaneamente as condições a seguir.

Novamente a escolha de z é livre, desde que x, y e z não sejam negativos. Então podemos escolher , para que os valores de x, y e z sejam inteiros. Assim obtemos:

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