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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Seja V o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) por

(a) Calcule u + v e au com u = (3, –2, 4), v = (1, 5, –2) e a = –1.

(b) Explique em palavras por que V é fechado na adição e na multiplicação por escalar.

(c) Como a adição em V é a operação de adição padrão de R3, alguns axiomas de espaço vetorial valem em V porque é sabido que valem em R3. Quais axiomas da Definição 1 da Seção 4.1 são esses?

(d) Mostre que valem os Axiomas 7, 8 e 9.

(e) Mostre que o Axioma 10 falha com as operações dadas.

Passo 1 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para calcularmos e com , e , vamos inicialmente considerar :

Passo 2 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para com , e

Passo 3 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, temos que: e .

Passo 4 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observemos que é tal que cada entrada , e é tal que

Passo 5 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, é fechado na adição e na multiplicação por escalar, visto que cada entrada de e está em

Passo 6 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembremos que os axiomas de espaço vetorial com respeito à adição são:

(i) se estão em , então está em

(ii) associatividade: , para todos ;

(iii) comutatividade: , para todos

(iv) elemento neutro: existe em tal que , para todo ;

(v) elemento simétrico: para cada em , existe em tal que .

Passo 7 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em nosso caso, se , então as condições (i)-(iii) são satisfeitas e é o elemento neutro tal que (iv) se cumpre. Sendo , temos: é tal que .

Passo 8 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembremos que os axiomas 7, 8 e 9 são:

7.

8.

9.

Passo 9 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, se e , , então, .

Logo:

Imagem 3, e

Passo 10 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluímos, assim, que os axiomas 7, 8 e não valem.

Passo 11 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembremos que o axioma 10 é:

10. , para todo .

Passo 12 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, seja . Então:

Passo 13 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, o axioma 10 falha.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.