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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u = (u1, u2) e v = (v1, v2) por

u + v = (u1 + v1, u2 + v2), au = (0, au2)

(a) Calcule u + v e au, com u = (–1, 2), v = (3, 4) e a = 3.

(b) Explique por que V é fechado na adição e multiplicação por escalar.

(c) Como a adição de V é a operação de adição padrão de R2, certos axiomas de espaço vetorial valem para V por valerem em R2. Quais são esses axiomas?

(d) Mostre que valem os Axiomas 7, 8 e 9.

(e) Mostre que o Axioma 10 falha e que, portanto, V não é um espaço vetorial com as operações dadas.

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para efetuarmos o cálculo, basta substituirmos os valores dados nas definições das operações. Então,

Encontramos, então, e .

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

V é fechado para adição e para a multiplicação por escalar porque V é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e, da forma como foram definidas, o resultado da adição de dois elementos de V, bem como o resultado da multiplicação de um elemento de V por um escalar, são pares ordenados de números reais.

Assim, concluímos que V é, de fato, fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

São válidos os axiomas envolvendo soma de vetores, sendo eles:

1. Se u e v são objetos em V, então é um objeto em V.

2.

3.

4. Existe um objeto 0 em V, denominado vetor nulo de V, tal que para todo u em V.

5. Dado qualquer u em V, existe um objeto denominado oposto (ou negativo) de u, tal que

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

O Axioma 7 diz que dados vetores u e v e um escalar a, então,

De fato,

O Axioma 8 diz que dados a e b escalares e um vetor u, então,

Está satisfeito, pois

O Axioma 9 diz que dados a e b escalares e um vetor u, então,

De fato,

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

O Axioma 10 diz que para todo vetor u, vale que:

De acordo com o produto por escalar definido em V, temos:

Portanto, com as operações definidas no enunciado, e V não é um espaço vetorial.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.