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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard Anton IBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S = {u1, u2} de R2.

(a) u1 = (1, 0), u2 = (0, 1); w = (3, −7)

(b) u1 = (2, –4), u2 = (3, 8); w = (1, 1)

(c) u1 = (1, 1), u2 = (0, 2); w = (a, b)

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

A questão nos dá as coordenadas de um vetor expresso na base canônica do , e uma base com três vetores expressos nas coordenadas do . Queremos achar o vetor expresso em coordenadas da base , que escrevemos

Podemos montar a matriz de mudança de base, cujas colunas são formadas pelos vetores da base. A conversão entre coordenadas se dá por meio da equação a seguir:

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A base dada nesse primeiro problema é igual à base canônica. A matriz de mudança de base fica:

Este é o operador identidade, o que significa que não precisamos fazer conta alguma, porque as coordenadas do vetor vão ser iguais às da base canônica.

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

A questão nos dá as coordenadas de um vetor e uma base . Queremos achar o vetor expresso em coordenadas da base , que escrevemos

Podemos montara matriz de mudança de base, cujas colunas são formadas pelos vetores da base. A conversão entre coordenadas se dá por meio da equação a seguir:

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para achar o valor das constantes, devemos resolver um sistema linear. Para isso, vamos usar o método de Eliminação de Gauss. Vamos denotar por as linhas da matriz aumentada, mostrada a seguir:

Agora vamos aplicar as operações de linha. Primeiro fazemos então dividimos por 2

Agora fazemos , então aplicamos

Ficamos então com:

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

A questão nos dá as coordenadas de um vetor e uma base . Queremos achar o vetor expresso em coordenadas da base , que escrevemos

Podemos montar a matriz de mudança de base, cujas colunas são formadas pelos vetores da base. A conversão entre coordenadas se dá por meio da equação a seguir:

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para achar o valor das constantes, devemos resolver um sistema linear. Para isso, vamos usar o método de Eliminação de Gauss. Vamos denotar por as linhas da matriz aumentada, e então vamos aplicar as operações de linha.

Fazemos e então para obter:

Ficamos assim com:

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