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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, encontre uma base do subespaço de R4 gerado pelos vetores dados.

(a) (1, 1, –4, –3), (2, 0, 2, –2), (2, –1, 3, 2)

(b) (–1, 1, –2, 0), (3, 3, 6, 0), (9, 0, 0, 3)

(c) (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (–2, 0, 2, 2), (0, –3, 0, 3)

Passo 1 de 3

Relembrando: uma base é composta de vetores linearmente independentes. Portanto, se algum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, sabemos que ele não pode ser um elemento da base.

Seria fácil de encontrar elementos linearmente independentes se esses vetores estivessem nas linhas de uma matriz, devido ao seguinte teorema:

Se uma matriz A está na forma escalonada por linhas, então os vetores linha não nulos formam uma base do espaço linha de A, bem como os vetores coluna não nulos formam uma base do espaço coluna de A.

Também sabemos que as linhas correspondentes à base encontradas na matriz escalonada correspondem às linhas linearmente independentes na matriz original.

Ora, basta então montarmos uma matriz cujas linhas são os vetores dados, escaloná-la, e verificar quais são as linhas que correspondem à base. É fundamental compreender esse raciocínio. Pensemos: nada nos impede de montar a matriz que bem entendermos e fazermos o que quisermos com ela. Pois bem, se conhecemos um teorema que seria útil se os nossos vetores estivessem como linhas de uma matriz, façamos com que eles sejam. A propriedade dos vetores de constituir uma base de um espaço independe de como eles nos são dados, seja em uma lista desorganizada, seja nas linhas de uma matriz. A ordem com que eles nos são dados também não importa. Logo, podemos montar a matriz com as linhas na ordem que quisermos.

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