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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard Anton IBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Verifique que pos(A) = pos(AT).

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Tenhamos em mente o seguinte teorema:

Os espaços linha e coluna de uma matriz têm a mesma dimensão, que denominamos posto.

Como o espaço coluna de A é o espaço linha de sua transposta, sabemos que seus postos serão iguais. Vamos fazer as contas com a matriz A para verificar que isso é verdade, de fato.

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para descobrir o posto de uma matriz, podemos escaloná-la e contar quantas linhas são linearmente independentes. Assim, temos:

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fazendo:

linha 2 = linha 2 + 3(linha 1)

linha 3 = linha 3 +2(linha 1)

obtemos:

Como as linhas 2 e 3 são linearmente dependentes, então pos(A) = 2 (pois apenas duas linhas são linearmente independentes).

Vamos, então, determinar o posto da transposta de A:

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fazendo:

linha 2 = linha 2 – 2(linha 1)

linha 3 = linha 3 – 4(linha 1)

Obtemos:

Como as linhas 2, 3 e 4 são linearmente dependentes, temos que o posto da transposta também é 2, já que só podemos encontrar no máximo duas linhas linearmente independentes.