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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard Anton IBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

(a) Mostre que se 0 < θ < π, então

não possui autovalores e, consequentemente, autovetores.

(b) Dê uma explicação geométrica para o resultado na parte (a).

Passo 1 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Se , então e .

A equação característica da matriz A será:

Sabemos das funções trigonométricas que:

E o discriminante da equação característica será:

Como , e portanto o discriminante será negativo, fazendo com que a equação característica não tenha autovalores reais e portanto a matriz não possuirá autovalores e consequentemente não possuirá autovetores.

Passo 2 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

A transformação representada pela matriz A é uma rotação de ângulo em torno da origem.

Como não tem como a transformação levar um vetor não nulo (que seria um autovetor) num múltiplo (que seria um vetor de mesma direção).