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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard Anton IBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

(a) Resolva o sistema

(b) Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y1(0) = 0, y2(0) = 0.

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver o sistema devemos encontrar sua solução geral, o que podemos obter diagonalizando a matriz de coeficientes do sistema.

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

A matriz de coeficientes do sistema dado é:

Para diagonalizá-la, devemos encontrar seus autovalores.

Os autovalores de uma matriz são as raízes de sua equação característica, que pode ser obtida por:

Resolvendo a equação característica encontramos os autovalores:

Para ter certeza que a matriz é diagonalizável, devemos verificar que os autovetores associados a cada um dos autovalores são linearmente independentes.

Um vetor v é autovetor associado ao autovalor se . Fazendo obtemos:

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para temos:

Para temos:

Como os autovetores de A são linearmente independentes, então A é diagonalizável, sendo

Assim,

Com:

Tínhamos inicialmente:

Fazendo e obtemos:

Então a solução do sistema é:

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrar a solução geral fazemos:

Então a solução geral do sistema é:

.

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Substituindo as condições iniciais na solução geral encontrada temos:

Então a solução que satisfaz as condições iniciais é .