Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.
Howard AntonIBSN: 9788540701694Elaborado por professores e especialistas
Exercício
Suponha que R4 tenha o produto interno euclidiano.
(a) Encontre um vetor em R4 que seja ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) e u4 = (0, 0, 0, 1) e que faça ângulos iguais com u2 = (0, 1, 0, 0) e u3 = (0, 0, 1, 0).
(b) Encontre um vetor x = (x1, x2, x3, x4) de comprimento 1 que seja ortogonal aos vetores u1 e u4 dados na parte (a) e tal que o cosseno do ângulo entre x e u2 seja o dobro do cosseno do ângulo entre x e u3.
Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
(a)
Primeiramente, vamos encontrar o vetor que seja ortogonal a e
.
Por definição de ortogonalidade, devemos ter e
.
Suponhamos .
Sendo assim:
Então,
Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Para a segunda parte, na qual deve ter o mesmo ângulo com
e
; então:
,
, de modo
.
Sendo assim,
Em particular tomando b=1, segue
Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Agora que já sabemos que ,
e mais :
,
Em que ,
Logo, , em particular tomando b=1, segue c=2; assim
.
Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Entretanto, devemos ter v, comprimento 1, então,
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