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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Suponha que R4 tenha o produto interno euclidiano.

(a) Encontre um vetor em R4 que seja ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) e u4 = (0, 0, 0, 1) e que faça ângulos iguais com u2 = (0, 1, 0, 0) e u3 = (0, 0, 1, 0).

(b) Encontre um vetor x = (x1, x2, x3, x4) de comprimento 1 que seja ortogonal aos vetores u1 e u4 dados na parte (a) e tal que o cosseno do ângulo entre x e u2 seja o dobro do cosseno do ângulo entre x e u3.

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Primeiramente, vamos encontrar o vetor que seja ortogonal a e.

Por definição de ortogonalidade, devemos ter e .

Suponhamos .

Sendo assim:

Então,

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a segunda parte, na qual deve ter o mesmo ângulo com e; então:

, , de modo .

Sendo assim,

Em particular tomando b=1, segue

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Agora que já sabemos que ,

e mais :

,

Em que ,

Logo, , em particular tomando b=1, segue c=2; assim .

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Entretanto, devemos ter v, comprimento 1, então,

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