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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços.

(a)

(b)

(c)

(d)

(f)

Passo 1 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em cada item, precisamos calcular

Essa será a nossa equação característica.

Solucionando , obteremos os autovalores.

(a)

Temos:

Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação característica é, portanto,

A equação equivale a , cujas soluções são Como a matriz é de ordem e temos dois autovalores distintos, cada autoespaço tem dimensão igual a 1.

Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Temos:

A equação característica é, portanto,

Passo 4 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Precisamos resolver a equação a fim de encontrar os autovalores. As possíveis soluções inteiras são os divisores de 54, o último termo da equação.

Por inspeção, testando cada um desses divisores, encontramos e como soluções. Ou seja, dividindo o polinômio por , obtemos:

Passo 5 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o autovalor tem multiplicidade 1 e o autovalor tem multiplicidade 2.

Como a multiplicidade de é 1, a dimensão do autoespaço associado é, necessariamente, 1.

No caso de , que tem multiplicidade 2, a dimensão pode ser 1 ou 2, no máximo.

Com , a matriz fica:

Passo 6 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O autoespaço associado %lambda=-3 é dado resolvendo o sistema:

Passo 7 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

As equações desse sistema são todas equivalentes à equação . A solução dessa equação é um espaço de dimensão 2.

Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluindo-se que a dimensão do autoespaço associado a é 2:

(c)

Temos:

A equação característica é, portanto,

Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Precisamos resolver a equação para encontrar os autovalores. Colocando a variável em evidência, essa equação poder ser reescrita como

Assim, é um zero de multiplicidade 2 e é um zero de multiplicidade 1.

Consequentemente, o autoespaço associado à matriz ao autovalor tem dimensão 1 e o autoespaço associado ao autovalor tem dimensão 1 ou 2. Nesse caso, a dimensão é 2, pois os vetores são linearmente independentes e estão no autoespaço associado ao autovalor , já que

Passo 10 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Temos:

A equação característica é, portanto,

Precisamos resolver a equação para encontrar os autovalores.

As possíveis soluções inteiras são os divisores de 32. Testando cada um destes divisores, encontramos e como soluções.

Dividindo o polinômio por , obtemos a igualdade:

Passo 11 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, a multiplicidade do autovalor é 1 e o9 autovalor é 2.

Como matrizes simétricas são diagonalizáveis, a soma das dimensões dos autoespaços tem que somar a ordem da matriz que, nesse caso, é 3.

Como necessariamente a dimensão do autoespaço associado ao autovalor é 1, temos que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor é 2.

Passo 12 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Temos:

Observação: calculamos o determinante anterior observando que temos uma matriz em bloco.

A equação característica é, portanto,

Passo 13 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Precisamos resolver a equação para encontrar os autovalores. A solução de é e .

Como a solução de é 0, temos que os autovalores são com multiplicidade 3 e com multiplicidade 1.

Como matrizes simétricas são diagonalizáveis, a soma das dimensões dos autoespaços tem que somar a ordem da matriz que, nesse caso, é 4.

Como necessariamente a dimensão do autoespaço associado ao autovalor é 1, temos que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor é 3.

Passo 14 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(f)

Temos:

Observação: calculamos o determinante anterior observando que temos uma matriz em bloco.

A equação característica é, portanto,

Assim, temos que solucionar a equação para encontrar os autovalores. As soluções são e , ambas com multiplicidade 2.

Passo 15 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como matrizes simétricas são diagonalizáveis, a soma das dimensões dos autoespaços tem que somar a ordem da matriz que, nesse caso, é 4.

Como a multiplicidade de cada autovalor é 2, logo, por um lado, a dimensão de cada autoespaço é no máximo 2 e, por outro, a soma desses dois números (a dimensão dos autoespaços) deve ser 4. Então, esses dois números só podem ser 2 (em símbolos, . Então, ).

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.