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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Nos Exercícios encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x2 + y2 = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Esta questão solicita que encontremos extremos condicionados de uma forma quadrática sujeita à condição .

Faremos uso do Teorema dos Extremos Condicionados, cujo enunciado é:

Seja uma matriz simétrica cujos autovalores, em ordem decrescente de valor, são . Então,

A forma quadrática atinge um valor máximo e um valor mínimo no conjunto de vetores, tais que ;

O valor máximo atingido na parte ocorre em um autovetor unitário associado ao autovalor .

O valor mínimo atingido na parte ocorre em um autovetor unitário associado ao autovalor .

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos à resolução!

Como , a matriz associada à forma quadrática é , uma matriz diagonal.

seus autovalores são e .

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Precisamos dos autovetores associados.

• Para , obtemos o sistema linear

cuja solução geral é e , e um autovetor associado a é .

Portanto, teremos um máximo em ou (vetor oposto).

O vetor máximo é .

• Para , obtemos o sistema linear

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Cuja solução geral é e .

Logo, ou são autovetores associados a .

Portanto, teremos um mínimo em ou .

O vetor mínimo é .

Resposta:

tem um máximo em (ou em ) e

tem um mínimo em (ou em ) e .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.