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Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard AntonIBSN: 9788540701694

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, encontre Nuc(T) e determine se a transformação linear é injetora.

(a) T : R2R2, com T(x, y) = (y, x)

(b) T : R2R2, com T(x, y) = (0, 2x + 3y)

(c) T : R2R2, com T(x, y) = (x + y, xy)

(d) T : R2R3, com T(x, y) = (x, y, x + y)

(e) T : R2R3, com T(x, y) = (xy, yx, 2x – 2y)

(f) T : R3R2, com T(x, y,

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos, primeiramente encontrar o núcleo de T. Para isso, precisamos encontrar para quais valores a transformação possui zero como resposta, ou seja:

A sua solução é possível, determinada e vale e . Portanto, o núcleo de T é o vetor nulo.

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Verificamos que o núcleo da transformação T é o vetor nulo. Por teorema, sabemos que uma transformação é injetora se, e somente se, a dimensão do núcleo for zero. Portanto, isso equivale dizer que a transformação linear é injetora.

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para encontrarmos o núcleo de T, precisamos descobrir para quais valores a transformação possui zero como resposta, ou seja:

Em que. Dessa forma, temos que

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Verificamos que o núcleo da transformação T não é o vetor nulo. Por teorema, sabemos que uma transformação é injetora se, e somente se, a dimensão do núcleo for zero. Portanto, isso equivale dizer que a transformação linear não é injetora.

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Para encontrar o núcleo de T, precisamos encontrar para quais valores a transformação possui zero como resposta, ou seja:

Em que. Então, o núcleo de T é o vetor nulo.

Verificamos que o núcleo da transformação T é o vetor nulo. Por teorema, sabemos que uma transformação é injetora se, e somente se, a dimensão do núcleo for zero. Portanto, isso equivale dizer que a transformação linear é injetora.

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Para encontrarmos o núcleo de T, precisamos descobrir para quais valores a transformação possui zero como resposta, ou seja:

Portanto, o núcleo de T é o vetor nulo.

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Verificamos que o núcleo da transformação T é o vetor nulo. Por teorema, sabemos que uma transformação é injetora se, e somente se, a dimensão do núcleo for zero. Portanto, isso equivale dizer que a transformação linear é injetora.

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Para encontrarmos o núcleo de T, precisamos encontrar para quais valores a transformação possui zero como resposta, ou seja:

Em que. Dessa forma, temos que

Verificamos que o núcleo da transformação T não é o vetor nulo. Por teorema, sabemos que uma transformação é injetora se, e somente se, a dimensão do núcleo for zero. Portanto, isso equivale dizer que a transformação linear não é injetora.

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(f)

Para encontrarmos o núcleo de T, precisamos descobrir para quais valores a transformação possui zero como resposta, ou seja:

Em que e . Dessa forma, temos que

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Verificamos que o núcleo da transformação T não é o vetor nulo. Por teorema, sabemos que uma transformação é injetora se, e somente se, a dimensão do núcleo for zero. Portanto, isso equivale dizer que a transformação linear não é injetora.

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