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Álgebra Linear e Suas Aplicações - Tradução da 4ª Edição Norte-americana

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear e Suas Aplicações - Tradução da 4ª Edição Norte-americana

Gilbert Strang IBSN: 9788522107445

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Se VW = {0}, então V + W é chamado de a soma direta de V e W, com a notação especial VW. Se V for gerado por (1, 1, 1) e (1, 0, 1), escolha um subespaço W de modo que VW = R3. Explique por que qualquer vetor x na soma direta VW pode ser escrito de um, e apenas único modo, como x = v + w (com v em V e w em W).

Passo 1 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos escolher W como o espaço gerado pelo vetor . Dessa forma, o único ponto em comum entre V e W é o ponto {0} (), e, portanto, temos a soma direta .

Passo 2 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Se e , então e w devem poder ser escritos nas formas:

Logo, implica em .

Para provar que o vetor x pode ser escrito de apenas uma maneira, devemos mostrar que os coeficientes são únicos.

Faremos a prova por negação: primeiro, assumimos que existam outros coeficientes, tais que .

Agora, subtraindo de , obtemos

Passo 3 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na equação anterior, identificamos que, como os vetores , e w são linearmente independentes, os coeficientes que acompanham essa combinação linear deles igual a zero devem ser todos nulos. Ou seja,

para i=1,2,3

Logo,

para i=1,2,3

Passo 4 de 4keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Essa é a prova da unicidade dos coeficientes : Se tentarmos escrever x de uma outra forma como , acabaremos por obter , e, assim, todos os coeficientes terão de ser sempre os mesmos para o mesmo x. Portanto, os vetores devem ser únicos.