Resolvido: Algoritmos - Teoria e Prática - 3ª Ed. 2012 | Cap 28.3 Ex 1E
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Algoritmos - Teoria e Prática - 3ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Algoritmos - Teoria e Prática - 3ª Ed. 2012

Thomas Cormen IBSN: 9788535236996

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O exercício pede que provemos que todo elemento da diagonal de uma matriz simétrica positiva definida é positivo.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Consideremos um conjunto de vetores unitários onde cada elemento é da seguinte forma:

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Se uma matriz simétrica satisfaz a seguinte condição para todos os vetores das colunas diferentes de zero, então a matriz é dita como simétrica positiva.

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Consideremos uma matriz simétrica positiva como se segue:

Note que a condição é válida para todo .

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora suponha que qualquer valor na diagonal da matriz não seja positivo, isto é . Tome um e calcule .

Ou seja e , portanto, será negativo. Isto é claramente uma contradição da consideração inicial; é uma matriz simétrica positiva definida.

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, se é uma matriz simétrica positiva definida então o valor , . Isto é, todos elementos da diagonal de uma matriz simétrica positiva definida são positivos.

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