Resolvido: Algoritmos - Teoria e Prática - 3ª Ed. 2012 | Cap 34.1 Ex 1E
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Algoritmos - Teoria e Prática - 3ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Algoritmos - Teoria e Prática - 3ª Ed. 2012

Thomas Cormen IBSN: 9788535236996

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O enunciado define LONGEST-PATH-LENGTH como a relação de cada instância de um grafo não dirigido e dois vértices com o número de arestas em um caminho simples de comprimento máximo entre esses dois vértices, além disso, define o problema de decisão LONGEST-PATH(G,u,v,k), onde é um grafo não dirigido, , e existe um caminho simples de u para v com pelo menos k arestas. A partir disso, vamos mostrar que o problema de otimização citado pode ser resolvido em tempo polinomial se, e somente se, o problema de decisão citado também pode.

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Mostrar que LONGEST-PATH-LENGTH ser polinomial implica em LONGEST-PATH ser polinomial é simples, porque podemos somente calcular o comprimento do maior caminho e rejeitar a instância do LONGEST-PATH se, e somente se, k for maior que o número que calculamos como o tamanho do maior caminho.

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dado que sabemos que o número de arestas no comprimento de maior caminho está entre 0 e , podemos fazer uma busca binária nesse comprimento, ou seja, construímos uma instância de LONGEST-PATH com os parâmetros dados e . Se a resposta for sim, sabemos que o comprimento do maior caminho está acima de k. Se a resposta for não, sabemos que está abaixo. Como em cada iteração dividimos o intervalo em dois, temos tempo .

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como executar uma rotina polinomial vezes ainda nos leva a um tempo polinomial, temos que LONGEST-PATH ser um algoritmo polinomial implica LONGEST-PATH-LENGTH seja, também, polinomial.

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluímos, portanto, usando busca binária para k, que LONGEST-PATH-LENGTH pode ser resolvido em tempo polinomial se, e somente se, LONGEST-PATH também pode.

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