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Análise Numérica - Tradução da 10ª Edição Norte-Americana

Exercícios resolvidos: Análise Numérica - Tradução da 10ª Edição Norte-Americana

Richard L Burden, Douglas J Faires, Annette M Burden IBSN: 9788522123407

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.

a. x cos.x − 2x2 + 3x − 1 = 0, [0,2, 0,3] e [1,2, 1,3]


b. (x − 2)2 − ln.x = 0, [1, 2] e [e, 4]


c. 2x cos(2x) − (x − 2)2 = 0, [2, 3] e [3, 4]


d. x − (ln x)x = 0, [4,5]

Passo 1 de 3

Para demonstrar que uma equação tem pelo menos uma raiz em dados intervalos, podemos aplicar o teorema de Bolzano.

Aliás, é um caso particular do teorema do valor intermediário.

Porque ele diz que, se uma função contínua tem valores com sinais opostos em determinado intervalo, então existe uma raiz nesse intervalo.

Para entender o teorema de uma maneira simples, vamos imaginar uma função contínua qualquer que passe pelos eixos positivo e negativo em um gráfico cartesiano.

Essa função vai cruzar o eixo x em algum momento, ou seja, vai ter ao menos uma raiz.

Desta forma, para cada letra da questão, calcularemos os valores da função para cada extremo do intervalo dado.

Caso eles tenham sinais opostos, será possível concluirmos que há pelo menos uma solução para a equação, segundo o teorema de Bolzano.

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