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Análise Numérica - Tradução da 10ª Edição Norte-Americana

Exercícios resolvidos: Análise Numérica - Tradução da 10ª Edição Norte-Americana

Richard L Burden, Douglas J Faires, Annette M Burden IBSN: 9788522123407

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.

a. x cos.x − 2x2 + 3x − 1 = 0, [0,2, 0,3] e [1,2, 1,3]


b. (x − 2)2 − ln.x = 0, [1, 2] e [e, 4]


c. 2x cos(2x) − (x − 2)2 = 0, [2, 3] e [3, 4]


d. x − (ln x)x = 0, [4,5]

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para demonstrar que uma equação tem pelo menos uma raiz em dados intervalos, podemos aplicar o teorema de Bolzano.

Aliás, é um caso particular do teorema do valor intermediário.

Porque ele diz que, se uma função contínua tem valores com sinais opostos em determinado intervalo, então existe uma raiz nesse intervalo.

Para entender o teorema de uma maneira simples, vamos imaginar uma função contínua qualquer que passe pelos eixos positivo e negativo em um gráfico cartesiano.

Essa função vai cruzar o eixo x em algum momento, ou seja, vai ter ao menos uma raiz.

Desta forma, para cada letra da questão, calcularemos os valores da função para cada extremo do intervalo dado.

Caso eles tenham sinais opostos, será possível concluirmos que há pelo menos uma solução para a equação, segundo o teorema de Bolzano.

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos calcular os valores da função para cada extremo do intervalo:

Temos então que:

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, podemos concluir que no intervalo dado a função tem pelo menos uma solução, já que possui sinais opostos nos extremos e é contínua.

Viu só como é simples?!

Fazemos agora o mesmo para o outro intervalo dado:

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos então que:

Para este intervalo então podemos concluir também que a função tem pelo menos uma raiz, de acordo com o teorema de Bolzano.

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Calculamos os valores da função para cada extremo do intervalo:

Veja então o que teremos:

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, podemos concluir que no intervalo dado a função tem pelo menos uma solução, já que possui sinais opostos nos extremos e é contínua.

Fazemos o mesmo para o outro intervalo dado:

Concluímos então que a função tem pelo menos uma solução no intervalo dado, já que ela é contínua e possui valores com sinais opostos em seus extremos.

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Agora, vamos calcular os valores da função para cada extremo do intervalo:

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos então que:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, podemos concluir que no intervalo dado a função tem pelo menos uma solução, já que seus valores nos extremos possuem sinais opostos e ela é contínua.

Lembre-se: qualquer dúvida, volte ao conteúdo para revisar!

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como já temos o valor de f (3) = 4,761, calculamos f (4):

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos então que:

Assim, concluímos que a função tem pelo menos uma solução no intervalo dado, já que ela é contínua e possui valores com sinais opostos em seus extremos.

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Substituímos a incógnita x da função pelos extremos do intervalo, veja só:

Portanto, podemos concluir que no intervalo dado a função tem pelo menos uma raiz, já que possui sinais opostos em seus extremos e é contínua.

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