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Exercícios resolvidos: Cálculo - A Funções Limite Derivação Integração - 6ª Ed.

Miriam Buss Gonçalves, Diva Marília FlemmingIBSN: 9788576051152

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

Passo 1 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pela definição da inclinação α de uma reta secante a uma curva f(x) é definida por dois pontos distintos da curva f(x) é dada por:

Passo 2 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Onde (x1,y1) e (x2,y2) são os pontos de uma reta secante que passa pela curva f(x). A tangente do ângulo α é o coeficiente angular da reta m.

Passo 3 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 4 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A inclinação de uma reta tangente ou que passa por apenas no ponto (x1,y1) da curva f(x) é dado pelo limite:

O termo ◊x representa a diferença infinitesimal que faz com que o ponto (x2,y2) tenda a ponto (x1,y1). Logo, pela inclinação da reta tangente a curva no ponto (x1,y1) pode encontrar a equação da reta tangente a curva f(x).

Passo 5 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação da curva f(x), a equação da reta tangente nos pontos x = 1, x = 0 e x = a, sendo a um número real:

Aplicando a equação do limite:

Passo 6 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo o ponto x = 1 na equação do coeficiente angular:

Passo 7 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como é dada a abscissa x1 = 1, para obter a ordenada y1 deve-se substituir na equação f(x):

Passo 8 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo na equação do coeficiente angular:

Passo 9 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a equação da reta tangente para x = 1, é:

Passo 10 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo agora o ponto x = 0 na equação do coeficiente angular:

Passo 11 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como é dada a abscissa x1 = 0, para obter a ordenada y1 deve-se substituir na equação da curva f(x):

Passo 12 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo os pontos x1 e y1 na equação do coeficiente angular:

Passo 13 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a equação da reta tangente para x = 0, é:

Passo 14 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo agora o ponto x = a na equação do coeficiente angular:

Passo 15 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como é dada a abscissa x1 = a, para obter a ordenada y1 deve-se substituir na equação f(x):

Passo 16 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo na equação do coeficiente angular:

Passo 17 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a equação da reta tangente para x = a, é:

Passo 18 de 18keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Abaixo na Figura (1), é exibido o gráfico da curva f(x) e das retas tangentes nos pontos x = 1, x = 0 e x = a (para a = 2).

Imagem 1

Figura (1): Gráfico da curva f(x) e das retas tangentes nos pontos x = 1, x = 0 e x = a (para a = 2).

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.