44
Cálculo - A Funções Limite Derivação Integração - 6ª Ed.

Exercícios resolvidos: Cálculo - A Funções Limite Derivação Integração - 6ª Ed.

Miriam Buss Gonçalves, Diva Marília FlemmingIBSN: 9788576051152

Elaborado por professores e especialistas

ALUNOS QUE TAMBÉM VISUALIZARAM

  • +15.615

Exercício

Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro, um quadrado.

(a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?


(b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas contpreendidas seja máxima?

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A verificação de um ponto de máximo relativo de uma função f(x) derivável em um intervalo [a, b], exceto no ponto c, ocorre quando:

A função f(x) tem um ponto de máximo relativo em c.

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A verificação de um ponto de mínimo relativo de uma função f(x) derivável em um intervalo [a, b] exceto no ponto c, ocorre quando:

A função f(x) tem um ponto de mínimo relativo em c.

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Os extremos de uma função também podem ser verificados pelo critério da derivada 2ª de uma f(x). Se f”(x) admite a deriva 2ª no intervalo [a, b] em um dado ponto crítico c:

Se f”(c) < 0, f(x) tem um valor máximo relativo em c.

Se f”(c) > 0, f(x) tem um valor mínimo relativo em c.

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

O somatório das áreas dos dois pedaços pode ser estimado por:

Considerando que o comprimento L deve ser a soma do perímetro quadrado e do círculo:

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Reescrevendo a equação do comprimento em função de r e substituindo na equação da área A:

Fazendo a derivada da função da Área e igualando a zero:

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a derivada 2ª da função da Área:

Como para qualquer valor de r, a derivada 2ª será positiva, significa que o valor de r da derivada primeira é um ponto de mínimo da função da Área.

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o valor da dimensão de a em função de r é dado por:

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, adimensão que representa o pedaço quadrado (4a) em função do comprimento é e a dimensão do pedaço que representa o círculo em função do comprimento é .

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

A função da Área não possui ponto de máximo, logo para que a área seja máxima, deve-se cortar apenas um quadrado ou um círculo de comprimento com o raio r:

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.