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Cálculo - A Funções Limite Derivação Integração - 6ª Ed.

Exercícios resolvidos: Cálculo - A Funções Limite Derivação Integração - 6ª Ed.

Miriam Buss Gonçalves, Diva Marília FlemmingIBSN: 9788576051152

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício vamos encontrar a área limitada pelas curvas a seguir:

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A segunda curva pode ser assim reescrita:

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Inicialmente, para saber qual a área a ser calculada, deve-se realizar o desenho do gráfico que contém as curvas, que será:

Imagem 2

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A área a ser calculada é a representada em verde no gráfico anterior.

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Percebe-se que o ponto onde a curvaencontraé o ponto.

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao calcularmos a integral definida de entre, encontraremos a área equivalente a soma da área azul e da área rosa do gráfico. Porém se calcularmos a integral definida de entre, encontraremos a área equivalente a área rosa do gráfico.

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o valor da área verde vai ser igual a área total menos a área rosa. Ou seja:

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Inicialmente deve-se calcular. Para isso pode-se fazer a seguinte mudança de variável:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ou seja:

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Posteriormente, deve-se calcular, que será:

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a área será:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a área delimitada pelas curvas é igual á:

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