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Cálculo B - 2ª Ed.

Exercícios resolvidos: Cálculo B - 2ª Ed.

Miriam Buss Gonçalves, Diva Marília FlemmingIBSN: 9788576051169

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f(x, y) no pomo indicado e na direção

a) f(x, y) = 2x2 + 2y2 em P(1, 1).


b) f(x, y) = 2x + y em P(−1, 2).


c) f(x, y) = ex + y em P(0, 1)

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

em P(1,1)

Para calcularmos a derivada direcional, primeiramente calculamos o vetor unitário .

O vetor unitário na direção de é . Assim, segue o gráfico.

A partir do cálculo do vetor unitário, e observando o triângulo , obtemos as seguintes informações:

Se , =, assim:

e

Assim, as coordenadas do ponto Q são

Por definição, temos:

,

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo os valores na função

.

Portanto:

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b) em P(-1,2)

Para calcularmos a derivada direcional, primeiramente calculamos o vetor unitário .

O vetor unitário na direção de é . Assim, segue o gráfico:

A partir do cálculo do vetor unitário e observando o triângulo . Obtemos as seguintes informações:

Se , =, assim:

Assim, as coordenadas do ponto Q são .

Por definição, temos:

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo os valores na função , temos:

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto,

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c) em P(0,1)

Para calcularmos a derivada direcional, primeiramente calculamos o vetor unitário .

O vetor unitário na direção de é . Assim, segue o gráfico:

A partir do cálculo do vetor unitário e observando o triângulo , obtemos as seguintes informações:

Se , =, assim:

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, as coordenadas do ponto Q são Por definição, temos:

Substituindo os valores na função , temos:

.

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.