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Cálculo B - 2ª Ed.

Exercícios resolvidos: Cálculo B - 2ª Ed.

Miriam Buss Gonçalves, Diva Marília FlemmingIBSN: 9788576051169

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Calcular  onde:

R

a) f(x, y) = xexy; R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 1


b) f(x, y) = yexy; R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 1


c) f(x, y) = x cos xy; R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2


d) f(x, y) = yln x; R é o retângulo 2 ≤ x ≤ 3

1 ≤ y ≤ 2


e) ; R é o quadrado 1 ≤ x ≤ 2

1 ≤ y ≤ 2.

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiro, vamos definir os conceitos utilizados na solução.

Note que a função dada no exercício foi chamada de Imagem 80. O representa que estamos calculando a integral em relação a Imagem 93. O representa que estamos calculando a integral em relação a , e assim sucessivamente. O d é a derivada de uma função.

A integral consiste em uma forma de se encontrar a primitiva de uma função. Pode-se dizer que ela é o inverso da derivada. Ou seja, se derivarmos tal função primitiva encontraremos a função que está dentro da integral.

Note que:

Precisamos encontrar uma função que, quando derivada, gera 2dt. Logo:

: uma constante.

Note que o “a” é chamado de ponto inicial da integração, “b” ponto final da integração e “b-a” a região de integração.

A integral dupla representa que teremos que calcular a integral duas vezes. Veja o exemplo abaixo.

Note que devemos primeiramente calcular as integrais que estão na parte de dentro, ou seja, primeiro calculamos a integral da função xy, considerando apenas dx. E, depois calculamos a integral da função encontrada, considerando apenas dy.

Observe que cada integral possui sua região de integração, que é aquele intervalo que as variáveis estão submetidas. Esse intervalo deve ser substituído na função encontrada após realizamos a integração.

Integração por partes é um método utilizado para solucionar integrais. Ele consiste em transformar uma determinada integral em outra que seja de mais fácil resolução.

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Note que devemos calcular primeiro a integral em relação a y, lembrando que o y varia de 0 a 1. Temos que:

Agora, vamos encontrar a integral, em relação a x, dessa nova função.

Logo, temos que:

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Note que devemos calcular primeiro a integral em relação a x, lembrando que o x varia de 0 a 3. Temos que:

Agora vamos encontrar a integral, em relação a y, dessa nova função.

Logo, temos que:

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Note que devemos calcular primeiro a integral em relação a y, lembrando que o y varia de 0 a pi/2. Temos que:

Agora vamos encontrar a integral, em relação a x, dessa nova função.

Logo, temos que:

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d)

Note que devemos calcular primeiro a integral em relação a x, lembrando que o x varia de 2 a 3. Temos que:

Essa integral, para ser solucionada, necessita passar pelo processo de integração por partes.

Vamos chamar u = lnx e dv = dx.

Logo, temos que v = x + C e du = (1/x)dx

O método de integração por partes diz que.

Assim, temos que:

Agora vamos encontrar a integral, em relação a y, dessa nova função.

Logo, temos que:

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

e)

Note que devemos calcular primeiro a integral em relação a x, lembrando que o x varia de 1 a 2. Temos que:

Essa integral, para ser solucionada em relação a y, necessita passar pelo processo de integração por partes.

Vamos chamar u = ln(2+y) e dv = dy

Logo, temos que v = y + C e du = (1/2+y)dy

O método de integração por partes diz que.

Assim, temos que:

E ainda:

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, temos:

Logo, temos que:

Assim, temos que:

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.