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Exercícios resolvidos: Cálculo - Funções de uma e Várias Variáveis - 2ª Ed. 2010

Pedro Morettin IBSN: 9788502102446

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dada uma função de duas variáveis , precisamos encontrar suas derivadas parciais e no ponto, usando a definição de derivada parcial.

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A função em questão é:

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sabemos, das seções 10.1 Derivadas Parciais e 10.2 Função Derivada Parcial, que as derivadas parciais de uma função de duas variáveis são

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos estender os conceitos apresentados no Capítulo 5 – Derivadas [de funções de uma variável real], para calcular as derivadas parciais de funções de duas variáveis.

Para isso, ao derivar em relação à variável , consideramos que seja uma constante, e vice versa. A definição de derivada parcial implica que

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De maneira análoga,

Podemos calcular a função derivada parcial, e depois aplicá-la a um ponto específico , ou calcular diretamente a derivada no ponto específico, ou . No caso, optou-se pela primeira solução, por ser mais genérica, pois podemos usá-la posteriormente para qualquer ponto.

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculando , obtemos:

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculando, que no caso é:

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculando , obtemos:

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Calculando, que no caso é :

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a resposta esperada seria:

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