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Cálculo Numérico

Exercícios resolvidos: Cálculo Numérico

Neide Maria Bertoldi FrancoIBSN: 9788576050872

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Apresenta-se a seguir conjuntos, juntamente com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determinar os conjuntos que são espaços vetoriais sob as operações indicadas. Em relação aos que não forem espaços vetoriais, relacionar todos os axiomas que não se verificam.

a) O conjunto de todos os pares de números reais do tipo (x, 0)t com as operações usuais do2.


b) O conjunto de todas as ternas de números reais (x, y, z)t com as operações:

(x, y, z)t + (x′, y′, z′)t =(x + x′, y + y′, z + z′)t e k(x, y, z)t = (kx, y, z)t.

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesta questão, vamos determinar se os conjuntos dados são espaços vetoriais de um corpo também dado. Considerando as operações adição e somam dadas, precisaremos verificar se as seguintes propriedades são válidas:

Caso as 8 propriedades acima sejam satisfeitas, dizemos que é um espaço vetorial.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Consideraremos o conjunto de pares de números reais da forma , com as operações adição e multiplicação por escalar do Dados vetores quaisquer deste conjunto, com e escalares vamos agora verificar as propriedades acima mencionadas:

Logo, as oito propriedades da definição são satisfeitas, então o conjunto é, da fato, um espaço vetorial de

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, o conjunto de pares de números reais da forma , com as operações adição e multiplicação por escalar de um espaço vetorial.

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Agora, o conjunto é formado pelo conjunto das ternas de números reaise consideraremos as operações, onde é um escalar real:

Ora, tomando o vetor e escalares , é fácil ver que:

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por outro lado temos que ,

Ou seja, acabamos de verificar que não vale a propriedade Isto é, não vale que:

Logo, verificamos que o conjunto em questão não é um espaço vetorial.

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, o conjunto é formado pelo conjunto das ternas de números reais com as operações dadas não é um espaço vetorial

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.