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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard AntonIBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral da seqüência, começando com n = 1.

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrar o termo geral da sequência devemos observar o padrão que a define. Com isso em mente, vamos escrever os primeiros termos de cada sequência fornecida no enunciado de uma forma adequada, isto é, que relacione cada termo com seu número de posição.

Vamos começar? Acompanhe!

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Observemos a tabela abaixo, onde temos os quatro primeiros termos da sequência do seu número de posição:

Nº de posição

1

2

3

4

...

n

...

Termo

...

...

Podemos ver que o expoente do denominador é uma unidade a menos do que o número de posição, o que nos leva a concluir que o n-ésimo termo tem denominador .

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto o termo geral desta sequência é dado por .

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Esta sequência é muito semelhante à da letra (a). A única mudança são os sinais alternados. Ou seja, o n-ésimo termo da nova sequência é igual ao n-ésimo termo da sequência anterior multiplicado por .

Isso vale, pois produz a sequência , que tem exatamente os mesmos sinais da sequência dada em (b)

Portanto o termo geral desta sequência é .

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Observemos que a sequência dos numeradores são os números ímpares e a sequência dos denominadores são os números pares.

Logo podemos escrever a tabela, onde colocamos os primeiros termos da sequência abaixo do seu número de posição:

Nº de posição

1

2

3

4

...

n

...

Termo

...

...

O numerador é uma unidade a menos do que o dobro do seu número de posição e assim o n-ésimo termo terá numerador .

Já o denominador é exatamente o dobro do seu número de posição. Com isso, o n-ésimo termo terá denominador .

Portanto o termo geral desta sequência é dado por .

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Colocamos os primeiros termos da sequência abaixo do seu número de posição, conforme a seguinte tabela:

Nº de posição

1

2

3

4

...

n

...

Termo

...

...

O numerador é o número de posição elevado ao quadrado. Já o denominador é um radical em que o radicando é e o índice é calculado somando uma unidade ao número de posição.

Portanto o numerador do n-ésimo termo é calculado por e o denominador calculado por , resultando no termo geral .

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