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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral da seqüência, começando com n = 1.

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrarmos o termo geral da sequência, devemos observar o padrão que a define. Vamos escrever os primeiros termos de cada sequência de uma forma adequada, que relacione cada termo com seu número de posição.

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Observemos a tabela, onde temos os quatro primeiros termos da sequência abaixo do seu número de posição:

Nº de posição

1

2

3

4

...

n

...

Termo

...

...

Podemos ver que o expoente do denominador é uma unidade a menos do que o número de posição, o que nos leva a concluir que o enésimo termo tem denominador .

Portanto, percebemos que o termo geral desta sequência é dado por .

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Veja só que esta sequência é muito semelhante à sequência da letra (a). A única mudança são os sinais alternados. Ou seja, o enésimo termo da nova sequência é igual ao enésimo termo da sequência anterior, multiplicado por . Isso vale pois produz a sequência , que tem exatamente os mesmos sinais da sequência dada em (b).

Portanto descobrimos que o termo geral desta sequência é .

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Vamos observar que a sequência dos numeradores são os números ímpares e a sequência dos denominadores são os números pares.

Logo, podemos escrever a tabela a seguir, onde colocamos os primeiros termos da sequência abaixo do seu número de posição:

Nº de posição

1

2

3

4

...

n

...

Termo

...

...

Note que o numerador é uma unidade a menos do que o dobro do seu número de posição e, assim, o enésimo termo terá numerador .

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Já o denominador é exatamente o dobro do seu número de posição. Com isso, temos que o enésimo termo terá denominador .

Portanto, chegamos à conclusão de que o termo geral desta sequência é dado por .

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Colocamos os primeiros termos da sequência abaixo do seu número de posição, conforme a seguinte tabela:

Nº de posição

1

2

3

4

...

n

...

Termo

...

...

Observe que o numerador é o número de posição elevado ao quadrado. Já o denominador, é um radical onde o radicando é e o índice é calculado somando uma unidade ao número de posição.

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, concluímos que o numerador do enésimo termo é calculado por e o denominador calculado por , resultando no termo geral .

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