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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, obtenha a série de Maclaurin para a função fazendo uma substituição apropriada na série de Maclaurin para 1/(1 − x). Inclua o termo geral na sua resposta e dê o raio de convergência da série.

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este exercício consiste em encontrarmos a série de Maclaurin para a função pedida por meio de uma substituição apropriada na já conhecida série de Maclaurin para . Vamos lá!

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembre-se de que a série de Maclaurin para é obtida por meio da série geométrica , e tem raio de convergência , isto é, converge para .

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a) Observe que, substituindo por em , obtemos:

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Além disso, a série converge para . Logo, o termo geral da série de Maclaurin para é e o raio de convergência é .

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b) Observe que, substituindo por em , chegamos a:

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Além disso, a série converge para . Mas, isto implica que . Logo, o termo geral da série de Maclaurin para é e o raio de convergência é .

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c) Observe que, substituindo por em , vemos que:

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Além disso, a série converge para . Mas, isto implica que . Logo, o termo geral da série de Maclaurin para é e o raio de convergência é .

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d) Observe que . Portanto, substituindo por em , teremos que:

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a série de Maclaurin de é dada por .

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Além disso, a série converge para . Mas, isto implica que . Logo o termo geral da série de Maclaurin para é e o raio de convergência é .

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vimos, portanto, a resolução do nosso exercício!