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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard AntonIBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Em cada parte, encontre os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge calculando o limite da enésima soma parcial. Se a série convergir, obtenha sua soma.

(a)

(b)

(c)

Passo 1 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este exercício, vamos ficar atentos ao que pede o enunciado, em cada item:

- Temos que encontrar os valores exatos das quatro primeiras somas parciais;

- Encontrar também a forma fechada da enésima soma parcial;

- Determinar se a série converge calculando o limite da enésima soma parcial;

- Se a série for convergente, temos que obter sua soma.

Atenção para cada um dos itens, pois este é um exercício difícil. Vamos utilizar os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro e mãos à obra!

(a)

Primeiro, observe que a série dada é .

Passo 2 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, como a sequência das somas parciais é dada por , temos que, os valores exatos das quatro primeiras somas parciais são:

.

.

.

.

Passo 3 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Analisando a sequência das somas parciais temos de maneira geral

......(1)

Multiplicando (1) por obtemos

......(2)

Subtraindo (2) de (1) resulta

......(3)

Passo 4 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, obtemos , ou seja, .

E concluímos que a forma fechada da enésima soma parcial é dada por .

Passo 5 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E o limite das somas parciais é dado por:

Temos que , então a série , ou seja, se a sequência das somas parciais converge para , então a série converge para .

Passo 6 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De maneira equivalente o resultado dessa soma pode ser obtido observando que a série é uma série geométrica cujo primeiro termo é 2 e a razão é . Como , tal série converge e seu limite é .

Passo 7 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a série .

Passo 8 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

A série dada por , tem como sequência de suas somas parciais , cujos quatro primeiros termos são:

.

.

.

.

Passo 9 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Analisando a sequência das somas parciais temos de maneira geral

......(4)

Multiplicando (4) por obtemos

......(5)

Subtraindo (5) de (4) resulta

......(6)

Passo 10 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então a forma fechada da enésima soma parcial é dada por .

Concluímos que o limite da sequência das somas parciais, , não existe. Portanto, a série diverge.

Passo 11 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De outro modo, tal conclusão pode ser obtida identificando, como uma série geométrica cujo primeiro termo é e a razão . Como , tal série diverge.

Passo 12 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

A série dada por tem como sequência de somas parciais . Os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais são:

.

.

.

.

Passo 13 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Analisando esta série, a enésima soma parcial é dada por:

Vamos obter uma fórmula fechada para . Pela técnica de frações parciais vamos obter A e B tais que:

. Então A+B=0 e 2A+B=1, logo A= 1 e B = -1.

Temos então: .

Passo 14 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim,

Passo 15 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E concluímos que a forma fechada para a enésima soma parcial é dada por

.

O limite das somas parciais é dado por .

Passo 16 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos que , então a série , ou seja, se a sequência das somas parciais converge para , então a série:

converge para

Ou seja,

Passo 17 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.