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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Use o Teorema 1 para encontrar a soma da série.

(a)

(b)

Teorema 1

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O exercício consiste em aplicar o Teorema 10.4.3 para encontrar a soma de séries convergentes. Vamos lá!

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Lembrando que o Teorema 10.4.3 diz que, se e são séries convergentes, então e .

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Observe que a série é uma série geométrica cujo primeiro termo é e a razão é também . Logo, a série converge para .

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Analogamente, a série é também geométrica, com primeiro termo e razão . Logo, a série converge para .

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, pelo Teorema 10.4.3, temos:

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto a soma da série é

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Observe que a série é uma série geométrica cujo primeiro termo é e a razão é também . Logo, a série converge para .

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ainda, vimos no Exemplo 5 da seção 10.3 que a série converge para .

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, pelo Teorema 10.4.3, temos:

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto a soma da série é

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