Resolvido: 10.5-1E Faça uma conjectura sobre a | PasseiDireto.com
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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirme-a usando o teste da comparação.

(a)

(b)

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

A série dada é . Observe que .

Conjecturamos que é convergente. Vamos provar essa afirmação? Acompanhe!

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos usar o teste da comparação para tentar provar a conjectura. Veja como fazer!

Devemos achar convergente tal que para provar tal conjectura.

Pelo Principio Informal, a sequência é da forma: , ou seja, a série é a série para e, portanto, convergente.

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculando, temos que para todo natural.

Com isso, , ou seja, .

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a conjectura está provada, isto é, é convergente.

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

A série dada é . Observe que .

Conjecturamos que é divergente. Vamos provar essa afirmação? Acompanhe!

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos usar o teste da comparação para tentar provar a conjectura. . Veja como fazer!

Devemos achar divergente tal que para provar tal conjectura.

Pelo Principio Informal, a sequência é da forma: , ou seja, a série é a série harmônica, portanto, divergente.

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculando, temos que para todo natural.

Com isso, , ou seja, .

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a conjectura está provada, isto é, é divergente.

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