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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard AntonIBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Mostre que a série converge confirmando que satisfaz as hipóteses do teste da série alternada (Teorema  1).

Teorema  1

(Teste da Série Alternada)  Uma série alternada da forma (1) ou da forma (2) converge se as duas condições a seguir estiverem satisfeitas:

(a)  a1a2a3 ≥ •••≥ ak ≥ •••

(b)

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Você se lembra do Teorema 10.6.1, do teste da série alternada, certo? Pois é o que usaremos para resolver este exercício. Acompanhe!

Inicialmente, devemos verificar se a série é alternada, que é a primeira hipótese do Teorema 10.6.1. Para isso é preciso verificar que os termos da soma alternam entre positivo e negativo.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste caso, escrevendo a soma por extenso temos:

Isso nos leva a crer que a série é alternada. Como fazemos para ter certeza disso?

Para ter certeza, é interessante observar que o termo é que faz com que a série seja alternada, pois quando é par, o número é positivo, caso contrário o número é negativo. Já o denominador do termo geral é sempre positivo.

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Muito bem! Para poder concluir se a série é convergente, devemos ainda verificar as seguintes hipóteses:

- o valor absoluto (módulo) dos termos da soma deve tornar-se cada vez menor à medida que o índice aumenta;

- o limite do valor absoluto do termo geral da série seja zero quando tende ao infinito positivo, conforme o Teorema 10.6.1.

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos representar o valor absoluto (sem o sinal) de cada termo da série por .

Assim, temos que o termo seguinte pode ser escrito como:

Portanto, . Ou seja, .

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalmente, vamos calcular o limite do valor absoluto do termo geral quando tende a infinito positivo:

A justificativa para que esse limite seja zero é que o denominador tende a infinito positivo enquanto que o numerador é constante.

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos agora concluir, utilizando o Teorema 10.6.1, que a série é convergente.

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