61
Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, encontre a aproximação quadrática local de ƒ  em x = x0 e use-a para encontrar a aproximação linear local de ƒ em x = x0. Use um rescurso gráfico para esboçar o gráfico

de ƒ e das duas aproximações numa mesma tela.

(a) f(x)=ex; x0 =0 

(b) f(x)=cosx; x0 =0

(c) f(x)=senx; x0 = π/2

(d)

Passo 1 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, o objetivo é que encontremos uma aproximação quadrática e linear local. Para tanto, precisaremos dos conceitos mencionados nas páginas 675 e 676 do livro. Também iremos utilizar um recurso computacional para esboçar os gráficos, que será o GeoGebra. Acompanhe a resolução!

Passo 2 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

A aproximação quadrática local de em tem sua forma dada por:

.

Passo 3 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, note que as primeiras duas derivadas de são:

Portanto, obtemos que:

Deste modo, a aproximação quadrática local de em é:

.

Com isso, a aproximação linear local é: .

Passo 4 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Utilizando o GeoGebra, construímos os gráficos da função que está representado pela curva preta, e das aproximações quadrática e linear que estão representados pelas curvas vermelha e verde, respectivamente. Deste modo, temos como resposta final para este ponto da questão:

Imagem 3

Passo 5 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

A aproximação quadrática local de em tem sua forma dada por:

.

Passo 6 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, note que as primeiras duas derivadas de são:

Portanto, obtemos que:

Deste modo, a aproximação quadrática local de em é:

.

Com isso, a aproximação linear local é: .

Passo 7 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Utilizando o GeoGebra construímos os gráficos da função que está representado pela curva preta, e das aproximações quadrática e linear que estão representados pelas curvas vermelha e verde, respectivamente. Deste modo, temos como resposta final para este ponto da questão:

Passo 8 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 4

Passo 9 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

A aproximação quadrática local de em tem sua forma dada por:

.

Passo 10 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, note que as primeiras duas derivadas de são:

Portanto, obtemos que:

Passo 11 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Deste modo, a aproximação quadrática local de em é:

.

Com isso, a aproximação linear local é: .

Passo 12 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Utilizando o GeoGebra construímos os gráficos da função que está representado pela curva preta, e das aproximações quadrática e linear que estão representados pelas curvas vermelha e verde, respectivamente. Deste modo, temos como resposta final para este ponto da questão:

Imagem 5

Passo 13 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

A aproximação quadrática local de em tem sua forma dada por:

.

Passo 14 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, note que as primeiras duas derivadas de são:

Portanto, obtemos que:

Passo 15 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Deste modo, a aproximação quadrática local de em é:

.

Com isso, a aproximação linear local é: .

Passo 16 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Utilizando o GeoGebra construímos os gráficos da função que está representado pela curva preta, e das aproximações quadrática e linear que estão representados pelas curvas vermelha e verde, respectivamente. Deste modo, temos como resposta final para este ponto da questão:

Imagem 6