53
Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Use ambos métodos dados no Exemplo 2 para aproximar sen 4° até cinco casas decimais de precisão e verifique seu trabalho comparando sua resposta com aquela produzida diretamente por uma calculadora.

Exemplo 2

Use a série de Maclaurin para sen x para aproximar sen 3° com precisão de cinco casas decimais.

se supõe que o ângulo x esteja em radianos (pois as fórmulas de diferenciação de funções trigonométricas são deduzidas com esta hipótese). Como 3° = π/60 radianos, segue de (6) que

Precisamos determinar quantos termos são necessários na série para obter-se uma precisão de cinco casas decimais. Vamos considerar duas abordagens possíveis, uma usando o Teorema da Estimativa do Resto (Teorema 10.7.4) e outra usando o fato de que (7) satisfaz as hipóteses do Teste da Série Alternada (Teorema 10.6.1).

Método 1 (Teorema da Estimativa do Resto)

Já que queremos obter cinco casas decimais de precisão, nosso objetivo é escolher n de tal modo que o valor absoluto do enésimo resto em x = π/60 não exceda 0,000005 = 5 × 10−6, isto é,

Porém, se fizermos f (x) = sen x, então f(n+1)(x) é ± sen x ou ± cos x e, em ambos os casos, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para todo x. Assim, tem-se a partir do Teorema da Estimativa do Resto com M = 1, x0 = 0 e x = π/60 que

Passo 1 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pela Tabela 10.9.1 sabe-se que a série de Maclaurin da função seno é dada por:

.

Vamos, então, determinar o valor pedido nos itens a seguir. Acompanhe!

Passo 2 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que rad.

Passo 3 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sendo assim, para , obtemos o seguinte: .

Passo 4 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Método 1:

Neste método, utilizaremos, essencialmente, o Teorema de Estimativa do Resto. Repare bem.

Passo 5 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Precisamos determinar quantos termos devemos incluir no polinômio de Maclaurin acima, para que obtenha até cinco casas decimais de precisão. Ou seja, queremos determinar o número natural , tal que o valor absoluto do enésimo resto em:

Passo 6 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

satisfaça .

Passo 7 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que, se fizermos , então, será ou . Em ambos os casos, temos que para todo . Deste modo, considere a cota superior.

Passo 8 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para determinarmos o número , utilizaremos o Teorema 10.7.4 para a função com , , . Assim, pela fórmula (14) temos que:

Passo 9 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Portanto, escolheremos de modo que .

Passo 10 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que para , obtemos .

Passo 11 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, segue que:

Passo 12 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 13 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Método 2:

Neste método, utilizaremos o Teste da série Alternada, e outros conceitos relacionados.

Observe que satisfaz as condições do Teorema 10.6.1. Sendo assim, seja a soma dos enésimos termos da série alternada acima. Logo, pela parte (b) do Teorema 10.6.2 temos que:

Passo 14 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 15 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para que possamos obter cinco casas decimais de precisão, precisamos escolher o primeiro número positivo tal que .

Passo 16 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que para obtemos .

Portanto, segue o mesmo resultado do Método 1.

Passo 17 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Utilizando uma calculadora científica para sabermos o valor de obtemos, em ambos os métodos, o seguinte resultado:

. Sendo assim, tal valor é igual ao valor que achamos em ambos os casos. Logo, esta é a resposta para esta questão.

Aprenda agora com os exercícios mais difíceis

R$29,90/mês

Assine o PremiumCancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Todos os materiais compartilhados
  • check Biblioteca com 5.000 livros, escolha 5 por mês
  • check Videoaulas exclusivas
  • check Resumos por tópicos