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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard AntonIBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica x = t /2, y = t2 + 1 em t = − 1 e t = 1 sem eliminar o parâmetro. 

(b) Verifique suas respostas da parte (a) eliminando o parâmetro e diferenciando uma função apropriada de x.

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver os itens deste exercício, temos de considerar que a curva solicitada está na forma parametrizada e o parâmetro é denominado. O conjunto de pontos que determina a curva é um conjunto do tipo: , isto é, é uma curva no plano. A inclinação da reta tangente à curva, em qualquer ponto dela é dada pela derivada.

Como a curva é parametrizada, podemos considerá-la como função do parâmetro , ou expressar e derivá-la. Vamos realizar cada passo em separado e calcular quando os parâmetros são: = +1 e = -1.

Com essas considerações, podemos realizar a solução!

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para calcular a inclinação da reta tangente, você deve primeiro calcular a diferencial .

Como: , a diferencial será dada por:

Da mesma forma, como: , a sua diferencial é:

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, divida cada uma delas por , para obter:

E

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalmente, divida a primeira expressão pela segunda para obter a inclinação desejada (que é a derivada!):

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, a resposta do item (a) é:

E

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Agora, para eliminar o parâmetro , façamos o seguinte: considere a expressão: , multiplique por e substitua na equação: . Vamos realizar os procedimentos?

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substitua, então, , que você obteve acima na equação que define . Você irá obter o seguinte:

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, basta derivar , ou seja, calcular a derivada da função com relação a :

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para verificar se a sua resposta é correta, calcule os valores de x quando e . Vamos lá, nesses valores do parâmetro , teremos:

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E no item (b), descobrimos que:

Logo, os valores das inclinações concordam com o item (a)!

Exercícios resolvidos no Capítulo 11.2

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.