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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard AntonIBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Em cada parte, determine a área do círculo por integração

(a) r = 2a sen θ

(b) r = 2a cos θ

Passo 1 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como estudamos na seção 11.3, o processo para calcular a área por integração de gráficos em coordenadas polares consiste, primeiramente, em identificar os limites de integração para em seguida realizar a integração pela fórmula de área:

válida quando .

Importante lembrar que o eixo x à direita da origem corresponde ao ângulo 0º e a contagem é no sentido anti-horário onde r é a coordenada radial, e é a coordenada angular.

Então, mãos à obra!

Passo 2 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nossa tarefa é calcular a área dos círculos dos itens (a) e (b) e para isso vamos identificar os limites de integração da coordenada angular para cada círculo, integrar com a equação de cálculo de área em coordenadas polares e os limites angulares referentes ao mesmo.Vamos lá!

Passo 3 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para o círculo da equação , o exemplo de gráfico da equação para o valor de a = 2:

Imagem 4

Para completar o círculo, o valor do seno deve variar de 0º, com valor 0 e coordenada passando pelo valor máximo 1, com ângulo de 90º e coordenada , indo até o valor 0 novamente, com ângulo 180º e coordenada .

Ou seja, deve ir de 0º a 180º ou de 0 a radianos.

Passo 4 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, temos que:

Passo 5 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como então:

Passo 6 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo:

Passo 7 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De modo que a área do círculo é o que já era esperado, pois é um círculo de raio a.

Passo 8 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para o círculo da equação o exemplo de gráfico da equação para o valor de a = 2:

Passo 9 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 1

Para completar o círculo, o valor do cosseno deve variar de 0º, quando vale 1 e tem coordenada passando por 90º, com valor mínimo 0 e coordenada , indo até o valor -1 com coordenada também. Ou seja, deve ir de 0º a 180º ou de 0º a radianos. Neste caso vamos usar a simetria e calcular a metade da área do círculo e multiplicar a mesma por dois para conseguir a área total.

Passo 10 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, temos que:

Passo 11 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Mas como então:

Passo 12 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo:

Passo 13 de 13keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De modo que a área do círculo é o que também já era esperado, pois é um círculo de raio a.

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