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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Suponha que o sistema de coordenadas xy ′ tenha sido obtido pela rotação de um sistema de coordenadas xy por um ângulo de θ = 60°.

(a) Encontre as coordenadas xy′ de um ponto cujas coordena-das xy sejam (−2, 6).

(b) Encontre uma equação da curva em coordenadas x′y′.

(c) Esboce a curva da parte (b) mostrando ambos os eixos xy e x′y′.

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver esta questão, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre rotações dos eixos coordenados. Reveja as equações de rotação (5) e (6), nas páginas 766 e 767, respectivamente. Acompanhe!

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Inicialmente, vamos usar a equação de rotação (6) do livro texto:

......(6)

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, dados e , temos que:

E:

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, concluímos que as novas coordenadas são .

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos usar a equação de rotação (5) do livro texto:

......(5)

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo e em (5), obteremos:

......()

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Em seguida, vamos substituir () na equação dada :

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, concluímos que a equação da curva , nas coordenadas , é:.

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Observe abaixo o esboço da curva , que mostra ambos os eixos e : Imagem 1