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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

(a) Obtenha o valor de C dado na Fórmula (16), pondo t = 0 em (15).

(b) Use as Fórmulas (7), (17) e (22) para mostrar que

(c) Mostre que

(d) Use os resultados das partes (b) e (c) para mostrar que a velocidade de uma partícula em órbita elíptica é

(e) Suponha que uma partícula esteja numa órbita elíptica. Use a parte (d) para concluir que a distância da partícula ao centro da força atinge um mínimo se, e somente se, a velocidade da partícula atinge um máximo. Analogamente, argumente que a distância da partícula ao centro da força atinge um máximo se, e somente se, a velocidade da partícula atinge um mínimo.

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

No capítulo 13 deste livro, você aprendeu a desenvolver cálculos envolvendo funções vetoriais, como diferenciação e integração e algumas propriedades básicas dessas operações. Neste exercício temos que cumprir várias tarefas, de (a) a (e) começando por obter o valor de C dado na Fórmula (16) e, em seguida provar as igualdades e suposições apresentadas. Vamos lá!

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

A partir de (15) e (6) teremos que, em :

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

A partir de (22) temos que:

......(1)

A partir de (7) teremos então que:

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

A partir de (10) teremos que é perpendicular a provando a suposição apresentada.

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d)

A partir do item (c) deste exercício e também a partir de (10) teremos que:

......(2)

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A partir do item (b) deste exercício, temos que:

......(3)

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A partir do item (c) deste exercício e também a partir de (10) teremos que:

......(4)

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por sim, a partir de (22) teremos que:

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

e)

A partir de (20) teremos que:

......(5)

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o mínimo valor de ocorre quando e o máximo quando . A partir da parte (d) deste exercício temos que:

......(6)

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, o mínimo valor de ocorre quando e o máximo quando .