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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dz/dt.

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver esta questão, devemos usar a regra da cadeia de duas variáveis. O teorema da regra da cadeia de duas variáveis diz que se e forem funções diferenciáveis em , e se for diferenciável no ponto . Então, é diferenciável em e . Lembre-se que as derivadas comuns são calculadas em , e as derivadas parciais são calculadas em .

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Acompanhe!

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considere , e vamos derivar parcialmente em relação a e , teremos assim:

e .

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, considere ou em função de teremos , e vamos derivar os dois lados, assim:

.

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aqui, veja que temos ou em função de que se tornará e, observe como fica a derivação dos dois lados:

.

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aqui, vamos substituir na equação e, portanto:

.