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Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton IBSN: 9788560031801

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando Cálculo.

(a) ƒ(x, y) = (x − 2)2 + (y + 1)2


(b) ƒ(x, y)=1− x2y2


(c) ƒ(x, y)=x + 2y – 5

Passo 1 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O objetivo deste exercício é encontrar os máximos e mínimos absolutos de uma função.

Lembrando que,

- Ponto crítico, , é calculado por e .

- Mínimo absoluto: para todo (x,y) do domínio de f.

- Máximo absoluto: para todo (x,y) do domínio de f.

Passo 2 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a) Para encontrarmos os pontos críticos calculamos a primeira derivada da função f dada por,

Então,

Igualando as derivadas a zero temos o seguinte sistema,

Resolvendo o sistema, temos que da primeira equação

Substituindo na segunda equação,

Assim, o ponto crítico de f é (2, -1).

Temos que,

Então, para todo (x,y) do domínio de f, pois.

Portanto, (2, -1) é um ponto de mínimo absoluto de f(x,y).

________________________________________________________________________

(b) Para encontrarmos os pontos críticos calculamos a primeira derivada da função f dada por,

Então,

Igualando as derivadas a zero temos o seguinte sistema,

Resolvendo o sistema, temos que da primeira equação

Substituindo na segunda equação,

Assim, o ponto crítico de f é (0,0).

Temos que,

Então, para todo (x,y) do domínio de f, pois .

Portanto, (0,0) é um ponto de máximo absoluto de f(x,y).

________________________________________________________________________

(c) Para encontrarmos os pontos críticos calculamos a primeira derivada da função f dada por,

Então,

Como e então a função não tem nem máximo nem mínimo absoluto.